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第1篇 线性椭圆型方程 3

1 预备知识 3

1.1 基本问题的叙述 3

1.2 若干技巧 5

1.3 一些重要的不等式 10

2 极值原理及其应用 19

2.1 弱极值原理及解的最大模估计 19

2.2 闸函数及解的梯度的边界估计 20

2.3 强极值原理 24

2.4 Laplace方程Dirichlet问题解的存在性 25

3 L2理论 35

3.1 W1.2估计 35

3.2 W2.2估计 36

3.3 Lax-Milgram定理及其应用 41

3.4 弱解的极值原理 45

4 散度形式方程解的界与H？lder连续性 51

4.1 散度形式方程解的L∞估计 51

4.2 下解的局部L∞估计 54

4.3 解的局部H？lder连续性 57

4.4 边界附近的H？lder连续性 63

5 解的Lp估计 68

5.1 插值定理与分解引理 68

5.2 奇异积分 71

5.3 △算子的Lp估计 78

5.4 整体W2,p估计 80

5.5 局部W2,p估计 85

5.6 W2,p解的存在性 88

6.1 Newton位势的C2,a估计 92

6 Schauder估计 92

6.2 整体C2,a估计 97

6.3 内部的C2,a估计 101

6.4 边值问题的解 105

第2篇 线性发展方程 113

7 线性抛物型方程的极值原理及其应用 113

7.1 极值原理 113

7.2 初边值问题解的惟一性 117

7.3 比较定理 123

8 抛物型方程第一初边值问题解的存在性 125

8.1 Schauder型的先验估计 125

8.2 抛物型方程第一初边值问题解的存在性 128

8.3 解的可微性 135

8.4 第二初边值问题及Cauchy问题解的存在性 138

9.1 第一初边值问题解的收敛性 144

9 抛物型方程解的渐近性质 144

9.2 定理9.1.1的证明 146

9.3 定理9.1.2的证明 148

9.4 解的渐近展开 151

9.5 第二初边值问题解的渐近性 152

10 高维双曲型方程 154

10.1 能量不等式与解的惟一性 154

10.2 n维空间内的波动方程Cauchy问题解的存在性 160

10.3 初边值问题的Galerkin方法 170

11 发展方程的算子半群方法 175

11.1 有界线性算子半群 175

11.2 Hi1le-Yosida定理 180

11.3 增殖算子 183

参考文献 192