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第一篇 基本理论 3

第一章 解的存在与惟一性 3

1.1 引言 3

1.2 Cauchy问题 5

1.3 例子 6

1.4 Picard定理和Peano定理 9

1.5 极大解 14

1.6 方程组与高阶方程 16

1.7 广义解（Carathéodory定理） 19

第二章 解对初值和参数的依赖性 25

2.1 引言 25

2.2 连续性 26

2.3 可微性 30

第二篇 线性理论 39

第一章 一般性质 39

1.1 引言 39

1.2 存在与惟一性 40

1.3 解空间 43

1.4 基本解阵 44

1.5 常数变异法 46

第二章 常线性系统 48

2.1 指数矩阵 48

2.2 线性流 49

2.3 一般性质 52

2.4 渐近性质 53

2.5 本征向量 54

2.6 二维线性系统 55

第三章 线性共轭 60

3.1 引言 60

3.2 基本性质 62

3.3 线性吸引子与逸散子 64

3.4 稳定子空间与不稳定子空间 68

3.5 拓扑共轭 71

第四章 Sturm-Liouville理论 75

4.1 Sturm定理与Sturm-Liouville问题 75

4.2 本征值的存在性 79

4.3 本征函数的级数展开 81

第五章 复线性系统 89

5.1 复解析线性系统 89

5.2 奇点分类 91

5.3 形式解 98

5.4 基本解阵结构 102

5.5 n阶方程 106

5.6 二阶Fuchs方程 111

5.7 Frobenious方法 118

5.8 微分方程解析理论 125

第三篇 定性理论 133

第一章 基础理论 133

1.1 向量场与流 133

1.2 向量场生成流的可微性 137

1.3 向量场的相划分 143

1.4 向量场的等价与共轭 146

1.5 双曲奇点的局部结构 150

1.6 周期轨道的局部结构 151

1.7环面上的线性流 155

第二章 Poincaré-Bendixson定理 158

2.1 轨道的α极限集与ω极限集 158

2.2 Poincaré-Bendixson定理 162

2.3 Poincaré-Bendixson定理的应用 166

第三章 Liapounov稳定性 170

3.1 Liapounov意义下的稳定性 170

3.2Liapounov判别法 173

［附录］二维系统的中心焦点区分问题 177

第四章 曲面上的Poincaré-Bendixson定理 183

4.1 旋转数 184

4.2 Schwartz定理 187

第五章 双曲奇点与双曲周期轨道的局部结构 196

5.1 引言 196

5.2 微分同胚与双曲周期轨道的Hartman定理 198

5.3 Banach空间的Hartman定理 200

5.4 向量场与流的Hartman定理 205

5.5 Hartman定理：微分同胚的局部情形 209

5.6 Hartman定理：向量场的局部情形 209

5.7 不变流形 210

［附录］双曲点不变流形的可微性 213

第四篇 问题 225

第一部分 基本理论 225

第二部分 线性理论 235

一、实线性系统 235

二、复线性系统 241

三、Sturm-Liouville理论 245

第三部分 定性理论 251

一、定性理论基础 251

二、Poincaré-Bendixson定理 256

三、Liapounov稳定性 260

四、双曲元的局部结构曲面上的流 264

附录泛函微分方程 267

参考文献 280

索引 281