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第一章 拓扑结构 1

1.1 n维欧氏空间 1

1.1.1 n维欧氏向量空间 2

1.1.2 n维欧氏空间上的距离函数 2

1.1.3 n维欧氏空间中的球状邻域 2

1.1.4 n维欧氏空间中点列的极限 3

1.1.5 n维欧氏空间上的连续函数 3

1.1.6 从n维欧氏空间到m维欧氏空间的连续映射 4

1.2 拓扑空间 6

1.2.1 拓扑 6

1.2.2 拓扑基 7

1.2.3 由拓扑直接派生的基本概念 9

1.2.4 拓扑子空间 10

1.2.5 连续映射 10

1.3 常见的拓扑空间 12

1.3.1 度量空间 13

1.3.2 乘积空间 14

1.3.3 商空间 16

1.4 重要的拓扑性质 18

1.4.1 分离性公理 18

1.4.2 紧致性 19

1.4.3 局部紧致性 21

1.4.4 连通性和道路连通性 24

1.4.5 局部连通性和局部道路连通性 25

1.5 习题一 27

第二章 光滑结构 31

2.1 微分流形 31

2.1.1 拓扑流形 31

2.1.2 局部坐标的变换 32

2.1.3 光滑微分结构 34

2.1.4 光滑流形的例子 35

2.2 光滑函数 39

2.2.1 光滑函数的定义 39

2.2.2 截断函数 40

2.2.3 单位分解定理 42

2.2.4 光滑映射 43

2.3 切空间 44

2.3.1 切向量 44

2.3.2 切空间 46

2.3.3 自然基底 47

2.3.4 切向量的分量 49

2.3.5 光滑映射的切映射 51

2.3.6 切映射的坐标表示 53

2.4 子流形 54

2.4.1 浸入子流形 54

2.4.2 R3中的正则曲线和正则曲面 56

2.4.3 光滑函数的水平面 58

2.5 光滑切向量场 61

2.5.1 光滑切向量场 61

2.5.2 作为微分算子的光滑切向量场 62

2.5.3 Poisson括号积 64

2.5.4 在光滑映射下相关的光滑切向量场 67

2.6 习题二 69

第三章 外微分式及其积分 73

3.1 外形式 73

3.1.1 对偶向量空间 73

3.1.2 对偶基底 74

3.1.3 线性函数的分量的坐标变换公式 75

3.1.4 多重线性函数 77

3.1.5 r次外形式 78

3.1.6 反对称化算子 79

3.1.7 外形式的外积 82

3.1.8 外形式的坐标表达式 84

3.1.9 外多项式 86

3.1.1 0向量空间的线性映射在外形式空间上的诱导映射 88

3.2 外微分式 88

3.2.1 余切向量和余切空间 88

3.2.2 r次外微分式 89

3.2.3 外微分 90

3.2.4 外微分的运算规则 94

3.2.5 外微分的求值公式 95

3.2.6 拉回映射 96

3.3 可定向光滑流形和带边区域 98

3.3.1 向量空间的定向 99

3.3.2 可定向光滑流形 99

3.3.3 可定向性的判别准则 100

3.3.4 带边区域 102

3.3.5 有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向 103

3.4 外微分式的积分 105

3.4.1 外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形 105

3.4.2 一般情形 106

3.4.3 积分的性质 107

3.4.4 在浸入子流形上的积分 108

3.5 Stokes定理 111

3.5.1 Stokes定理的叙述 111

3.5.2 Stokes定理的证明 114

3.5.2.1 情形U∩？D=？的证明 115

3.5.2.2 情形U∩？D≠？的证明 116

3.6 习题三 118

第四章 黎曼流形上的微分算子 126

4.1 黎曼流形 126

4.1.1 欧氏向量空间 126

4.1.2 黎曼流形的定义 127

4.1.3 黎曼流形的例子 128

4.1.4 R3中的正则曲面 132

4.2 梯度算子 134

4.2.1 欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构 134

4.2.2 欧氏向量空间V和V的自然同构在任意的基底下的表示 135

4.2.3 黎曼流形上的梯度算子 137

4.3 光滑切向量场的协变微分 141

4.3.1 Rn上的光滑切向量场的微分 141

4.3.2 黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分 146

4.3.3 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标变换公式 148

4.4 散度算子和Laplace算子 152

4.4.1 光滑切向量场的散度 152

4.4.2 散度的局部坐标表达式 153

4.4.3 Laplace算子 155

4.4.4 单位球面上的Laplace算子 156

4.5 黎曼流形上的外微分学 159

4.5.1 n维欧氏向量空间中的Hodge星算子 159

4.5.2 Hodge星算子在非单位正交基底下的表达式 160

4.5.3 Hodge星算子在外微分式上的作用 162

4.5.4 R3中的场论公式 165

4.5.5 有向黎曼流形上的Hodge星算子和余微分算子 166

4.6 习题四 169

参考文献 172

索引 173