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第1章　复习与推广 1

1.1　数域 1

1.2　二阶与三阶行列式 2

1.3　n维向量空间Pn 5

1.3.1　几何向量及其运算 5

1.3.2　Pn中的向量及其运算 8

习题 11

第2章　方阵的行列式·线性方程组 13

2.1　矩阵及其初等变换 13

2.1.1　矩阵的概念 13

2.1.2　矩阵的初等变换 17

2.2　方阵的行列式 18

2.2.1　n元排列 19

2.2.2　n阶行列式的定义 21

2.3　行列式的性质 25

2.4　行列式按行（列）展开 31

2.4.1　行列式按一行（列）展开 31

2.4.2　拉普拉斯（Laplace）展开定理 39

2.5　m×n线性方程组 43

2.5.1　矩阵消元法 43

2.5.2　m×n方程组解的情况 50

2.6　n×n线性方程组 58

2.6.1　用行列式判断n×n方程组解的情况 59

2.6.2　克拉默（Crane）法则 61

2.7　小结 63

习题 65

第3章　矩阵及其运算 72

3.1　矩阵的运算 72

3.1.1　矩阵的加法 72

3.1.2　矩阵的数量乘法 74

3.1.3　矩阵的乘法 75

3.1.4　方阵的幂·矩阵的多项式 81

3.1.5　矩阵的转置与矩阵运算的关系 85

3.1.6　矩阵乘法的技巧 86

3.2　几类常用的特殊矩阵·方阵的迹 90

3.2.1　初等矩阵 91

3.2.2　上（下）三角矩阵 93

3.2.3　对称矩阵与反对称矩阵 94

3.2.4　方阵的迹 95

3.3　矩阵乘积的行列式·可逆矩阵 96

3.3.1　矩阵乘积的行列式 96

3.3.2　可逆矩阵 97

3.3.3　求逆矩阵的方法 103

3.3.4　矩阵方程 107

3.4　矩阵的分块 111

3.4.1　矩阵的分块运算 112

3.4.2　分块矩阵的初等变换 120

3.5　矩阵的秩·矩阵的相抵 125

3.5.1　矩阵的秩 125

3.5.2　矩阵秩的计算 127

3.5.3　矩阵的相抵（或等价） 129

3.5.4　矩阵经运算后秩的变化 132

3.6　小结 134

习题 137

第4章　线性空间 144

4.1　线性空间 144

4.1.1　线性空间概念的形成 144

4.1.2　线性空间的基本性质 147

4.2　子空间·线性组合 148

4.3　向量的线性相关性 153

4.3.1　线性相关与线性无关 153

4.3.2　Pn中向量的线性相关性 159

4.4　向量组的秩 164

4.4.1　向量组的等价 164

4.4.2　极大无关组 167

4.4.3　向量组的秩与矩阵秩的关系 169

4.5　维数与基·坐标 173

4.5.1　维数与基 173

4.5.2　坐标 175

4.5.3　基变换与坐标变换 179

4.6　线性空间的同构 184

4.6.1　映射 184

4.6.2　线性空间的同构 186

4.7　线性方程组（续） 190

4.7.1　线性方程组有解判别定理 190

4.7.2　线性方程组解的结构 193

4.8　小结 202

习题 205

第5章　线性变换 216

5.1　线性变换的定义与运算 216

5.1.1　定义·例子·基本性质 216

5.1.2　线性变换的运算 221

5.2　线性变换的矩阵 223

5.2.1　线性变换在一组基下的矩阵 224

5.2.2　L（V）与Pn×n的同构 229

5.2.3　线性变换在不同基下的矩阵 232

5.2.4　矩阵的相似 235

5.3　特征值与特征向量 238

5.3.1　特征值与特征向量的概念和计算 239

5.3.2　特征值和特征向量的性质 248

5.4　具有对角矩阵的线性变换 255

5.4.1　线性变换可对角化的条件 255

5.4.2　化方阵为三角矩阵 261

5.5　线性变换的一些应用 265

5.6　小结 269

习题 271

第6章　欧几里得（Euclid）空间 277

6.1　内积·欧氏空间 277

6.1.1　内积 277

6.1.2　向量的长度和向量的夹角 280

6.1.3　n维欧氏空间的度量矩阵 282

6.2　标准正交基·欧氏空间的同构 284

6.2.1　标准正交基·正交矩阵 284

6.2.2　欧氏空间的同构 293

6.3　正交变换 294

6.4　对称变换与实对称矩阵 298

6.4.1　对称变换 298

6.4.2　实对称矩阵的对角化 299

6.5　小结 306

习题 308

第7章　二次型 312

7.1　引言 312

7.2　二次型及其标准形·矩阵的合同 316

7.2.1　二次型及其矩阵表示 316

7.2.2　满秩线性替换·矩阵的合同 318

7.3　化二次型为标准形 320

7.3.1用正交替换化实二次型为标准形 320

7.3.2　用满秩线性替换化二次型为标准形 328

7.4　二次型的规范形·惯性定理 331

7.5　正定二次型与正定矩阵 335

7.5.1　正定二次型 335

7.5.2　正定矩阵 337

7.5.3　其他类型的实二次型 341

7.5.4　一个应用 342

7.6　小结 343

习题 345

习题参考答案与提示 349

附录　双重连加号∑∑·连乘号Ⅱ 362

参考书目 365