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目 录 1

第一章方程的导出和分类 1

§1方程的导出和定解条件 1

1．波动方程的定解问题（1）2．热传导方程和定解问题（13）3？．变分原理和膜平衡问题 18

§2二阶线性方程的分类 22

1．分类（22）2．两个自变量的二阶线性方程化为标准型（26）3．举例 32

§3定解问题适定性的概念 34

习题 38

第二章波动方程 42

§1达朗贝尔公式、行波解 42

1．弦振动方程的初值问题（42）2．物理意义（44）3．影响区域、依赖区域、决定区域（45）4．半无界弦的自由振动与延拓法（47）5．齐次化原理 49

§2球平均法与降维法 53

1．三维波动方程柯西问题的解（53）2．降维法 57

3．依赖区域、决定区域和影响区域（59）4．惠更斯（Huygens）原理、波的弥散（60）5．非齐次波动方程 61

§3混合问题的分离变量法 63

1．叠加原理（63）2．分离变量法（66）3．解的存在性 69

§4能量不等式、波动方程解的唯一性和连续依赖性 73

1．Cauchy问题的能量不等式与解的唯一性和连续依赖性（73）2．混合问题的能量不等式 82

习题 86

三章特殊函数及其应用 90

§1 高维波动方程的混合问题分离变量法 90

1．柱区域（92）2．球区域 93

§2贝塞尔函数 95

1．贝塞尔方程的解（95）2．递推公式和渐近公式（99）3．贝塞尔函数的零点（101）4．图表 101

5．其它类型的Bessel函数 104

§3勒让得函数 105

1．勒让得方程的解（105）2．勒让得多项式的基本性质（108）3．勒让得伴随函数 109

§4斯图姆—刘维尔（Sturn—Liouville）问题 110

1．特征值问题（110）2．贝塞尔方程的特征值问题（116）3．勒让得方程的特征值问题（122）4．伴随勒让得方程的特征值问题 125

§5应用举例——高维波动方程的分离变量法 126

习题 131

第四章热传导方程 135

§1混合问题的分离变量法 135

1．一维热传导方程的混合问题（135）2．圆形区域上的热传导方程的混合问题 137

§2柯西问题的积分变换法 140

1．Fourier变换及其基本性质（140）2．热传导方程Cauchy问题（148）3．解的存在性 149

§ 3极值原理与最大模估计 153

1．弱极值原理（153）2．混合问题的最大模估计 158

3．初值问题的最大模估计 159

§4 Laplace变换在解定解问题中的应用 161

1．Laplace变换（161）2．Laplace变换的基本性质（163）3．展开定理（164）4．Laplace变换在解定解问题中的应用 165

习题 168

第五章位势方程 173

§1边值问题的分离变量法 173

1．圆内Dirichlet问题的解（173）2．球内Dirichlet问题的解 179

§2 Green公式、基本解和基本积分公式 182

1．Green公式（182）2．基本解（183）3．基本积分公式 184

§3 Dirichlet问题，Green函数 188

1．Dirichlet问题的Green函数（188）2．一些特殊区域的Green函数与它的Dirichlet问题的解 191

§4调和函数的性质 207

§5极值原理与最大模估计 212

1．极值原理（212）2*强极值原理（214）3．Dirichlet问题解的最大模估计（218）4*．Neumann问题与第三边值问题 219

习题 222

第六章Cauchy—Ковалевская定理与典型方程的总结 227

§1一阶偏微分方程组 227

1．Ковалевская型方程组的Cauchy问题（227）2．特征理论（232）3．狭义双曲组化为对角型（235）4．等价积分方程组（237）5．一阶拟线性双曲型方程组概述 240

§2 Cauchy——Ковалевская定理 243

1．幂级数解法（244）2．Cauchy—Ковалевская定理 246

§3三类典型方程的总结 252

1．三类方程的共性（253）2．解的性质的比较（254）3．定解问题的适定性 257

习题 263