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第1篇 微积分 3

第1章 函数的极限与连续函数 3

1.1 实数与数轴 3

1.2 函数的概念 4

1.3 函数的极限 9

1.4 求极限的方法 16

1.4.1 直接代入法 16

1.4.2 两个重要极限 17

1.4.3 无穷小量、无穷大量、局部有界量之间的运算规则 19

1.4.4 四则运算法则 22

1.4.5 变量替换法 24

1.4.6 等价量、高阶无穷小量、低阶无穷大量 28

1.5 闭区间上连续函数的性质 32

习题1 34

第2章 一元函数微分学 38

2.1 微分与导数的概念 38

2.2 微分法 43

2.3 高阶导数与高阶微分 48

2.4 微分中值定理 50

2.5 洛必达法则 52

2.6 函数的泰勒展开 53

2.7 利用导数研究函数 59

2.7.1 函数的单调性 59

2.7.2 函数的凸性 62

2.7.3 函数的极值与最值 65

2.7.4 Newton迭代法 69

2.7.5 渐近线 70

2.7.6 函数作图 70

习题2 71

第3章 多元函数微分学 75

3.1 多元函数的极限与连续 75

3.2 偏导数与全微分 76

3.3 微分法 79

3.4 隐函数微分法 82

3.5 高阶偏导数与高阶全微分 85

3.6 多元函数的泰勒展开 86

3.7 多元函数的极值 87

习题3 95

第4章 不定积分 97

4.1 不定积分的概念和性质 97

4.1.1 引言 97

4.1.2 原函数与不定积分的概念 98

4.1.3 不定积分的性质及基本积分公式 99

4.2 基本积分法 102

4.2.1 换元积分法 102

4.2.2 第二类换元法 106

4.2.3 分部积分法 109

4.3 有理函数积分简介 113

习题4 116

第5章 定积分 119

5.1 定积分的概念与性质 119

5.1.1 定积分的定义 119

5.1.2 定积分的性质 122

5.2 微积分学基本定理 124

5.2.1 积分上限函数及其导数 124

5.2.2 微积分学基本定理 126

5.2.3 定积分的换元积分法 127

5.2.4 定积分的分部积分法 129

5.3 定积分的应用 131

5.3.1 微元法 131

5.3.2 定积分在几何学中的应用 132

5.3.3 连续函数的平均值 136

5.3.4 定积分在物理上的应用 137

5.3.5 定积分在医学上的应用 140

5.3.6 定积分在经济上的应用 141

5.4 广义积分 141

5.4.1 无穷区间上的广义积分 141

5.4.2 有限区间上无界函数的广义积分（瑕积分） 143

5.5 二重积分 145

5.5.1 二重积分的概念 145

5.5.2 二重积分的性质 147

5.5.3 二重积分的计算 148

习题5 154

第6章 简单微分方程 158

6.1 微分方程的基本概念 158

6.1.1 引例 158

6.1.2 基本概念 159

6.1.3 微分方程解的几何意义 160

6.2 一阶微分方程 161

6.2.1 变量分离方程 161

6.2.2 一阶线性微分方程 165

6.2.3 应用举例 169

6.3 可降阶的二阶微分方程 178

6.4 二阶线性微分方程 182

6.4.1 二阶线性微分方程解的性质 182

6.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程 184

6.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 187

习题6 190

第2篇 矩阵代数 195

第7章 矩阵代数 195

7.1 矩阵的概念及运算 195

7.2 矩阵的分块运算 197

7.3 初等变换与初等阵 199

7.4 矩阵求逆、秩标准形的唯一性 202

7.5 向量组的线性相关、线性无关与矩阵的秩 206

7.6 线性方程组的解 211

7.7 行列式 214

7.8 特征值与特征向量 220

7.9 实对称阵的正交对角化 224

7.10 正定阵 228

习题7 229

第3篇 概率论 241

第8章 随机事件与概率 241

8.1 随机现象 241

8.2 随机事件及其运算 242

8.3 随机事件的概率 243

8.4 为事件赋予概率的方法 245

8.4.1 主观方法 245

8.4.2 用频率估计概率 246

8.4.3 利用等可能性假设（1）：古典概率模型 246

8.4.4 利用等可能性假设（2）：几何概率 252

8.5 条件概率 253

8.6 事件的独立性 256

8.7 贝叶斯公式 257

8.8 “条件概率是概率” 259

习题8 266

第9章 随机变量 269

9.1 随机变量的概念 269

9.2 随机变量的概率密度函数与分布函数 269

9.3 正态分布及其应用 273

9.4 二项分布及其应用 276

9.5 与泊松过程有关的分布 279

9.6 随机向量的概念 284

9.7 联合密度函数与联合分布函数 285

9.8 边际密度 290

9.9 条件密度 292

9.10 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式 294

9.11 独立性与条件独立性 300

习题9 301

第10章 随机变量的变换 305

10.1 离散情形 305

10.2 连续情形 308

10.3 多维正态变量及其线性变换 316

10.4 次序统计量 320

习题10 323

第11章 数字特征 325

11.1 随机变量的数学期望与方差 325

11.2 协方差与相关系数 338

11.3 均值向量与方差协方差阵 344

11.4 条件期望与条件方差 346

习题11 355

第12章 极限定理 357

12.1 随机变量序列收敛的类型 357

12.2 大数定律 358

12.3 中心极限定理 363

习题12 367

标准正态分布函数值表 368

参考文献 369