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第1章 度量空间 1

1.1 度量空间 1

1.1.1 度量的定义 1

1.1.2 度量定义中（1），（2）和（3）的相关性 1

1.1.3 有关度量的不等式 2

1.1.4 平凡度量的定义 2

1.1.5 度量不是唯一的 4

1.1.6 度量空间的收敛 6

1.1.7 度量空间中的球 7

1.1.8 度量空间的有界性 8

1.1.9 序列空间的度量收敛与坐标收敛的关系 9

1.2 度量拓扑 10

1.2.1 开集的定义 10

1.2.2 开集的性质 12

1.2.3 闭集的定义和性质 12

1.2.4 拓扑的定义和性质 18

1.3 连续算子 20

1.3.1 算子连续的定义 20

1.3.2 算子连续的刻画 20

1.3.3 紧集的定义和性质 24

1.3.4 紧集与不动点 33

1.4 完备性与不动点定理 34

1.4.1 完备的定义 35

1.4.2 闭球套定理 43

1.4.3 压缩算子的定义 45

1.4.4 Banach不动点定理 46

1.4.5 Banach不动点定理的应用 52

1.5 度量的推广 54

第2章 赋范线性空间 56

2.1 赋范空间的基本概念 56

2.1.1 赋范空间的定义 56

2.1.2 赋范空间与度量空间的关系 58

2.1.3 依范数收敛 60

2.1.4 Banach空间的定义和性质 62

2.1.5 Banach空间的子空间 65

2.1.6 半范数与商空间 66

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间 68

2.2.1 范数强弱的比较和刻画 68

2.2.2 有限维赋范空间的性质 69

2.2.3 有限维赋范空间的刻画 73

2.2.4 有界集与紧集的关系和刻画 77

2.3 Schauder基与可分性 80

2.3.1 Schauder基 80

2.3.2 赋范空间的可分性 83

2.3.3 可分与Schauder基的关系 83

2.4 线性连续泛函与Hahn-Banach定理 85

2.4.1 线性连续泛函的定义 85

2.4.2 线性泛函连续和有界的刻画 86

2.4.3 线性连续泛函的范数 89

2.4.4 线性连续泛函范数的计算 89

2.4.5 Hahn-Banach定理 92

2.4.6 Hahn-Banach定理的应用 96

2.5 严格凸空间 97

2.5.1 严格凸的定义 97

2.5.2 严格凸空间的性质 99

2.5.3 严格凸性不是拓扑性质 103

第3章 有界线性算子 105

3.1 有界线性算子 105

3.1.1 线性算子的定义 105

3.1.2 线性连续算子的性质 105

3.1.3 有限维赋范空间上的线性算子的连续性 110

3.1.4 线性算子空间的性质 111

3.1.5 Banach代数 112

3.2 一致有界原理 113

3.2.1 一致有界原理 113

3.2.2 线性算子的各种收敛性 116

3.3 开映射定理与逆算子定理 119

3.3.1 开映射定理 119

3.3.2 逆算子定理 122

3.3.3 逆算子定理的应用 124

3.4 闭线性算子与闭图像定理 127

3.4.1 乘积空间 127

3.4.2 闭线性算子 127

3.4.3 闭图像定理 130

第4章 共轭空间 134

4.1 共轭空间 134

4.1.1 共轭空间 134

4.1.2 序列空间的共轭空间 134

4.1.3 共轭空间的性质 140

4.2 自反Banach空间 141

4.2.1 J映射的定义和性质 141

4.2.2 自反的定义和性质 142

4.2.3 Banach空间自反的判别法 142

4.2.4 自反Banach空间的几何性质 143

4.3 弱收敛 146

4.3.1 弱收敛 146

4.3.2 弱紧性 152

4.3.3 弱＊收敛 152

4.3.4 弱＊紧性 153

4.4 共轭算子 155

4.4.1 共轭算子的定义 155

4.4.2 共轭算子的性质 156

第5章 Hilbert空间 158

5.1 内积空间 158

5.1.1 内积的定义 158

5.1.2 Cauchy-Schwarz不等式 158

5.1.3 内积与范数的关系 161

5.1.4 内积的性质 162

5.1.5 赋范空间可以引入内积的条件 162

5.2 投影定理 166

5.2.1 正交的定义 166

5.2.2 正交的性质 167

5.2.3 投影的定义 171

5.2.4 投影的性质 172

5.2.5 投影定理 172

5.2.6 投影算子 174

5.2.7 正交性在Banach空间的推广 175

5.3 Hilbert空间的正交集 175

5.3.1 正交集的定义和性质 175

5.3.2 正交集的规范化 176

5.3.3 Fourier系数的定义和性质 176

5.3.4 Bessel不等式 178

5.3.5 级数∞∑i-1（x，ei）ei的收敛性 178

5.3.6 正交规范基的定义 180

5.3.7 正交规范基的判别法 181

5.3.8 Hilbert空间正交规范基的稳定性 183

5.3.9 可分的Hilbert空间的拓扑结构 184

5.4 Hilbert空间的共轭空间 187

5.4.1 Riesz表示定理的应用 188

5.4.2 Hilbert空间的自共轭性 189

5.4.3 Hilbert空间的伴随算子 190

5.4.4 重要伴随算子的性质 194

参考文献 198

索引 199