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目 录 1

第一章高等代数 1

1.1 数学元素与数学模型 2

1.2集合 5

1.2.1空集 7

1.2.2子集与包含集 8

1.2.3余集（补集） 8

1.2.4集合的相等 9

1.2.5交集 9

1.2.6并集 11

1.2.7差集 12

1.2.8集合的乘积 13

1.3 映射与变换 14

1.3.1——映射 16

1.3.2 A到B“中”的映射 17

1.3.3 A到B“上”的映射 18

1.3.4恒等映射 18

1.4 同构与同态的概念 20

1.5群 27

1.5.1群的定义 27

1.5.2群的基本定理 31

1.5.3子群 32

1.5.4群的同构与同态 33

1.5.5几种常用的群 36

1.6环和域 58

1.6.1环 58

1.6.2域 60

1.7线性空间 64

1.7.1 n维空间Rn和Cn及其中的向量 65

1.7.2n维向量的运算和线性空间的公理化定义 71

1.7.3维数、基底、坐标与基底的变换 78

1.7.4线性空间的线性变换（线性映射） 93

1.8矩阵的特征值和特征向量，矩阵的 109

对角化和约当标准型 109

1.8.1矩阵的特征值问题和特征值的确定 110

1 8.2特征向量的确定与矩阵的对角化 114

1.8.3关于矩阵特征值和特征多项式的一些性质及其它一些定理 131

1.8.4矩阵特征值的估计 151

1.8.5矩阵的约当标准型 156

1.9二次型 166

1.9.1二次型及其矩阵表达式 167

1.9.2二次齐式的标准型和惯性定律 169

1.9.3二次型和矩阵的正定性（定性） 184

1.9.4双线性型 201

1.9.5厄米特型（厄米特齐式，即厄米特二次型） 204

1.10内积空间 208

1.10.1定义和基本性质 209

1.10.2度量矩阵和标准正交基 214

1.10.3正交变换 224

1.10.4共轭变换（伴随算子）与对称变换（自伴算子） 226

1.10.5正算子与正定算子 235

1.10.6子空间的正交关系，正交投影 240

1.10.7投影定理和投影算子 248

1.10.8酉空间与酉变换 254

1.11 向量和矩阵的极限及范数 262

1.11.1距离空间 263

1.11.2向量和矩阵的极限 264

1.11.3向量的范数 267

1.11.4矩阵的范数 273

1.11.5距离空间的完备性和完备化 286

参考文献 290