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第一章 基本定义 1

1．定义和例 1

2．光滑函数与光滑映射 6

3．子流形和隐函数定理 9

4．技术性的问题 14

参考文献 20

第二章 切丛 21

1．流形的切丛 21

2．内在的描述 25

3．切空间的几何意义 28

4．球面的切丛 30

参考文献 32

第三章 矢量丛 33

1．定义和例 33

2．矢量丛上的运算 40

3．丛的正合序列，分裂和一的分割 46

4．法丛 52

5．仿紧性与一的分割 56

第四章 流形上的微分学 59

1．方向导数和矢量场 59

2．矢量场的几何，积分曲线 62

3．括弧运算和Frobenius定理 66

4．矢量场的拓扑学 75

5．附录 78

参考文献 82

1．Lie群的Lie代数 83

第五章 Lie群 83

2．局部同构，Sophus Lie的基本定理 90

3．指数映射，较深的结果 96

4．Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用 101

5．解析结构和存在性定理 111

6．单连通Lie群 115

参考文献 117

第六章 微分形式 118

1．引言 118

2．函数的微分与一次微分形式 120

3．外代数的概述 125

4．高次微分形式 130

5．其它问题 141

参考文献 146

第七章 积分 147

1．引言 147

2．单形 147

3．矢量空间中的积分 156

4．流形上的积分 166

5．应用 172

参考文献 181

第八章 de Rham定理 182

1．例和概述 182

2．奇异同调和de Rham定理 189

3．单纯形同调 193

4．de Rham定理的证明 198

5．复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 203

参考文献 210

1．一般的代数知识 211

第九章 同调理论 211

2．正合性 221

3．同伦，单纯逼近 225

4．切除和Mayer-Vietoris序列 232

5．应用 245

6．CW复形和进一步的计算 250

参考文献 259

第十章 上同调 260

1．引言 260

2．Pontrjagin对偶性 262

3．乘积空间和Künneth公式 265

4．“上”积（Cup Product）与“卡”积（Cap Product） 271

5．Thom同构定理 278

6．Hopf不变量 284

第十一章 Poincaré对偶性 290

1．引言 290

2．基本类 292

3．Poincaré对偶定理 299

4．Thom-Pontrjagin构造 307

5．相交理论 315

第十二章 纤维丛通论 320

1．引言 320

2．具有构造群的纤维丛 323

3．主丛 329

4．构造群的改变 338

5．万有丛和分类空间 342

6．覆盖同伦性质 345

7．杂记 350

参考文献 353

第十三章 示性类 355

1．圆群G=S1和对合G=Z2的示性类 356

2．酉群（U（n）的示性类（陈类）与正交群O（n）的示性类（Stiefel-Whitney类） 362

3．计算 374

4．其它的讲法 385

5．Pontrjagin类 390

6．K－群和陈特征标 394

参考文献 399

第十四章 表示论通论 400

1．引言 400

2．一般概念 403

3．紧群和不变积分 406

4．特征标与权 409

5．极大环面与E．Cartan定理 417

6．实表示 420

7．根与Weyl群 423

8．E．Cartan定理 429

9．其它评述 432

参考文献 435

第十五章 示性类续论 436

1．Borel-Hirzebruch格式 436

2．齐性空间上的计算 442

3．H*（BO（n）；Q）和H*（BSO（n）；Q）的计算 449

4．Pontrjagin数和配边不变性 455

参考文献 461

1．流形的指标 462

第十六章 Hirzebruch指标定理 462

2．配边环的构造 471

3．乘法序列 477

4．Milnor的怪球 482

参考文献 489

第十七章 Laplace方程和Hodge理论 490

1．偏微分方程（PDE）概况 490

2．调和函数 499

3．Laplace-Beltrami算子△ 506

4．Hirzebruch指标定理的另一表述 514

5．Hodge定理的证明，总的思路 517

6．Hodge定理的证明，一个特例 525

7．Hodge定理的证明，一般情况 532

8．澄清，微分几何概述 534

9．复情况 542

第十八章 Riemann-Roch定理 546

1．亚纯函数 546

2．？ech构造和层 554

3．层的上同调 561

4．Riemann-Roch定理 577

5．Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广 588

6．其它的评述 597

参考文献 602

第十九章 Atiyah-Singer指标定理 603

1．矢量丛上的一般微分算子 603

2．椭圆算子的解析指标，Hodge理论 615

3．K理论概述 622

4．Todd亏数与拓扑指标 635

5．Atiyah-Singer指标定理 646

参考文献 649

第二十章 曲率和相关问题 650

1．曲率 650

2．曲面的Gauss-Bonnet定理 660

3．曲率和示性类 676

4．主丛上的联络 689

5．Yang-Mills泛函 712

参考文献 721