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第一章 偏微分方程的经典理论 1

1 偏微分方程的一般概念 1

1.概念、记号 1

2.与常微分方程的比较 3

2 一阶拟线性方程的几何理论 5

1.特征线 6

2.Cauchy问题 7

3.n个自变量的情形 10

3 一阶非线性方程的几何理论 14

1.Monge锥、特征带 14

2.Cauchy问题 18

3.Hamilton-Jacobj方程 21

1.弱间断 27

4 特征理论 27

2.二阶方程的特征理论 28

3.高阶方程与方程组的特征理论 32

4.双特征、间断的传播 38

5 Cauchy-KoBaЛeBCKaЯ定理 42

1.Cauchy-KOBaЛeBCKaЯ方程组 42

2.Cauchy-KobaЛeBCKaЯ定理的证明 46

3.附注 52

6 Holmgren定理 56

1.Holmgren定理 56

2.应用 60

7 适定性 62

1.适定性概念 62

2.不适定问题的例子 64

1.引言 69

第二章 广义函数与Fourier变换 69

1 基本空间 69

2.基本空间C∞(Rn)，C？(Rn) 73

3.函数的正则化、平均算子 75

4.基本空间？(Rn) 79

2 广义函数空间 83

1. ？′(Rn)，？′(Rn)，？′(Rn)广义函数 83

2.广义函数的支集 87

3.广义函数的极限 90

3 广义函数的运算 94

1.广义函数的导数 94

2.广义函数的乘子 97

3.广义函数的自变量变换 98

5.广义函数的卷积 100

4.广义函数视为连续函数的导数 100

4 Fourier变换 112

1.？(Rn)空间上的Fourier变换 112

2.？′(Rn)空间上的Fourier变换 116

3.紧支集广义函数的Fourier变换 122

5 CoбoЛeB空间 127

1.整指数CoбoЛeB空间 127

2.实指数CoбoЛeB空间 133

3.嵌入定理 138

4.迹定理 140

6 周期广义函数 144

1.基本空间C∞(Tn)与广义函数空间？′(Tn) 144

2.空间H？(Tn) 147

1.基本解的概念 153

7 基本解 153

2.乘积空间中的广义函数 155

3.偏微方程的基本解 162

4.基本解在解的定性研究中的应用 168

5.Cauchy问题的基本解 170

第三章 椭圆型方程 175

1 周期区域上的椭圆型方程 175

1.Càrding不等式 176

2.第二基本不等式 181

3.正则性定理 184

4.两择性定理 186

2 高阶椭圆型方程的Dirchlet问题 190

1.问题的提法 190

2.Lax-Milgram定理 198

3.Dirichlet问题解的两择性定理 199

3 椭圆型方程解的正则性 206

1.内正则性 206

2.Banach-Saks定理 210

3.边界正则性定理，一些准备 213

4.边界正则性定理的证明 219

第四章 对称双曲组与正对称组 227

1 对称双曲组 227

1.对称双曲组 227

2.强解与弱解 231

4.对称双曲组Cauchy问题的能量不等式 234

4.初边值问题的情形 240

5.对称双曲组Cauchy问题解的存在性 242

1.正对称型方程组与合格边界条件 247

2 正对称型方程组 247

2.强解唯一性与弱解的存在性 254

3 强解与弱解的一致性 257

1.问题的演化 257

2.内部区域强弱解的一致性 264

3.边界区域强弱解的一致性(非特征情形) 266

4.边界区域强弱解的一致性(正则特征情形) 275

5.边界有角点的情形 279

4 正对称型方程组理论的应用 284

1.二阶自共轭椭圆型方程 285

2.Tricomi方程 287

3.Busemann方程 291

1 拟微分算子的定义 299

1.定义 299

第五章 拟微分算子 299

2.讨论对象的扩充 303

3.恰当支拟微分算子 309

2 象征的渐近展开 313

1.渐近展开 313

2.恰当支拟微分算子的象征 319

3 拟微分算子的运算与性质 324

1.转置与复合 324

2.拟微分算子代数 328

3.自变量的坐标变换 331

4.关于连续性的讨论 335

4 拟微分算子的一些应用 339

1.拟逆、准椭圆性 339

2.Gàrding不等式 343

3.严格双曲型方程的Cauchy问题 348

参考文献 359