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目录 1

1 引论 1

1.1微分方程的基本概念 1

1.2阶的符号 4

1.3向量与矩阵的范数 7

1.4迭代法基础 10

习题 14

2常微分方程初值问题的数值解法 16

2.1 初值问题解的存在性和唯一性 17

2.2 Euler（欧拉）法 19

2.3改进Euler法 24

2.4 Runge-Kutta （龙格－库塔）法 29

2.5线性多步法 36

2.5.1 Adams-Bashforth（阿达姆斯－贝雪福斯）公式 37

2.5.2 Adams-Moulton（阿达姆斯－莫尔顿）公式 40

2.6稳定性概念 43

2.7刚性方程 45

习题 47

3常微分方程边值问题的数值解法 50

3.1边值问题解的存在性和唯一性 50

3.2二阶常微分方程的打靶法 52

3.3微分方程组边值问题的打靶法 64

3.4多重打靶法 67

3.5有限差分近似 69

3.6线性边值问题的差分法 72

3.6.1差分方程的建立 73

3.6.2差分方程的可解性与解法 74

3.6.3差分解的收敛性 78

3.6.4其他边界条件 81

3.7非线性问题的差分法 82

3.8 Richardson（李查逊）外推法 88

习题 93

4偏微分方程的差分方法 97

4.1网格划分 97

4.2椭圆型方程的差分格式 99

4.3边界条件的处理 104

4.3.1矩形区域 105

4.3.2一般区域 105

4.4五点差分格式的迭代解法 108

4.5一维抛物型方程的古典差分格式 118

4.5.1古典显格式 120

4.5.2古典隐格式 122

4.6 Crank-Nicolson（克兰克－尼科尔森）格式 124

4.7差分格式的收敛性和稳定性 129

4.8二维交替方向法 136

4.9双曲型方程的差分格式 143

习题 146

5奇异摄动法 149

5.1渐近序列和渐近展开式 149

5.2正则摄动问题的解法 152

5.2.1级数展开法 154

5.2.2参数微分法 156

5.2.3逐次逼近法 158

5.3正则摄动法的失效 164

5.4.1变形参数法 169

5.4变形坐标法 169

5.4.2变形坐标法 173

5.4.3重正化技巧 177

5.5渐近展开匹配法 179

5.5.1 边界层 179

5.5.2 Prandtl（普兰特）匹配原则 182

5.5.3 一个二阶边值问题的边界层 185

5.5.4 Van Dyke（范戴克）匹配原则 188

5.6多重尺度法 193

5.6.1导数展开法 195

5.6.2两变量展开法 196

5.6.3非线性多重尺度法 198

习题 201

6.1变分问题 203

6变分原理 203

6.2变分 205

6.3 Euler方程 207

6.4自然边界条件 210

6.5变分原理 213

6.5.1线性微分算子 213

6.5.2常微分方程边值问题的变分原理 215

6.5.3偏微分方程边值问题的变分原理 219

6.6变分问题的近似解法——Ritz（里兹）法 224

习题 229

7加权余量法 231

7.1加权余量法的基本思想 231

7.2 MWR的基本方法 233

7.3二维偏微分方程化为常微分方程求解 238

7.4基函数的选取 244

7.5用MWR解混合问题 247

7.6正交多项式 251

7.7正交配置法 254

7.7.1对称问题的正交配置法 254

7.7.2非对称问题的正交配置法 260

习题 263

8有限元法与其他课题 266

8.1一维问题有限元法 266

8.1.1单元划分和构造插值函数 267

8.1.2单元刚度矩阵和单元荷载向量 269

8.1.3总刚度矩阵和总荷载向量 270

8.1.4边界条件的处理 272

8.1.5有限元法的计算步骤 274

8.2二维问题有限元法 278

8.2.1单元划分 279

8.2.2构造插值函数 279

8.2.3单元刚度矩阵和单元荷载向量的计算 282

8.2.4总刚度矩阵和总荷载向量的形成 285

8 2.5有限元方程组 286

8.3多重网格法 293

8.3.1双重网格法 293

8.3.2多重网格法 297

8.4 解Poisson方程的FFT算法 299

8.4.1 离散Fourier（富里叶）变换 299

8.4.2 FFT算法 301

8.4.3 Poisson方程第一边值问题的FFT解法 308

习题 310