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第一部分：微分与积分的近代理论 3

第一章 微分 3

1.关于单调函数的微商的Lebesgue定理 3

1.不可微的连续函数的例 3

2.关于单调函数的微商的Lebesgue定理，零测度集合 5

3.Lebesgue定理的证明 6

4.囿变函数 10

2. Lebesgue定理的若干直接结论 12

5.关于单调项级数的逐项微分的Fubini定理 12

6.线性集合的稠密点 13

7.跳跃函数 14

8.任意的囿变函数 17

9.关于任意函数的导数(nombres dérivés)的Denjoy-Young-Saks定理 19

3.区间函数 21

10.绪言 21

11.第一基本定理 23

12.第二基本定理 24

13.Darboux积分与Riemann积分 25

14.Darboux定理 27

15.囿变函数与可求长的曲线 29

1.定义与基本性质 32

16.阶梯函数的积分，两个引理 32

第二章 Lebesgue积分 32

17.可和函数的积分 34

18.递增序列的逐项积分法(Beppo Levi定理) 37

19.受控序列的逐项积分法(Lebesgue定理) 40

20.关于极限函数的可和性的一些定理 43

21.Schwarz不等式，Holder不等式及Minkowski不等式 45

22.可测集合与可测函数 49

23.不定积分的全变分与微商 53

2.不定积分，绝对连续函数 53

24.微商几乎处处等于零的单调连续函数的例 54

25.绝对连续函数，单调函数的典型分解法 56

26.分部积分法与换元积分法 61

27.作为集合函数的积分 64

3.空间L2及其中的线性泛函.空间LP 65

28.空间L2；平均收敛；Riesz-Fischer定理 65

29.弱收敛 67

30.线性泛函 68

31.线性泛函序列.Osgood定理 71

32.空间L2的可分性.选择定理 72

33.划一直交(orthonormal)系统 74

34.空间L2的子空间，分解定理 80

35.选择定理的另一证明；泛函的开拓 83

36.空间LP及其中的线性泛函 84

37.关于平均收敛的一个定理 89

38.Banach-Saks定理 91

4.多元函数 93

39.定义.对应原理 93

40.累次积分.Fubini定理 95

41.非负可加矩形函数对于一个网的微商.网的平行移动 96

42.囿变矩形函数.共轭网 99

43.可加集合函数.(B)可测集合 102

5.Lebesgue积分的其他定义 104

44.(L)可测集合 104

45.(L)可测函数与(L)积分 107

46.其他的定义，EropoB定理 110

47.Arzela定理与Osgood定理的初等证明 115

48.把Lebesgue积分看作是微分的逆运算 117

49.Stieltjes积分 120

第三章 Stieltjes积分及其推广 120

1.连续函数空间中的线性泛函 120

50.空间C中的线性泛函 121

51.母函数的唯一性 126

52.线性泛函的开拓 128

53.逼近定理.矩的问题 131

54.分部积分法.第二中值定理 135

55.泛函序列 137

56.Riemann-Stieltjes积分与Lebesgue-Stieltjes积分 139

2.Stieltjes积分的推广 139

57.Lebesgue-Stieltjes积分转化为Lebesgue积分 142

58.两个Lebesgue-Stieltjes积分之间的关系 145

59.多元函数.直接的定义 147

60.借助于对应原理的定义 149

3.Daniell积分 150

61.正型的线性泛函 150

62.变号泛函 153

63.一个线性泛函对于另一个线性泛函的微商 156

参考文献 161