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1复数与复变函数 1

1.1复数 1

1.1.1复数的概念 1

1.1.2复数的四则运算 2

1.1.3复数的几何表示 3

1.1.4复数的乘幂与方根 7

1.2区域 9

1.2.1区域的概念 9

1.2.2单连通域与多连通域 10

1.3复变函数 11

1.3.1复变函数的概念 11

1.3.2复变函数的几何表示 12

1.3.3反函数与复合函数 14

1.4复变函数的极限和连续 14

1.4.1复变函数的极限 14

1.4.2复变函数的连续性 16

本章小结 17

自我检测题1 20

复习题1 21

2解析函数 23

2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程 23

2.1.1复变函数的导数 23

2.1.2解析函数的概念 25

2.1.3柯西-黎曼方程 26

2.2初等函数 29

2.2.1指数函数 29

2.2.2对数函数 30

2.2.3幂函数 31

2.2.4三角函数和双曲函数 32

2.2.5反三角函数和反双曲函数 33

本章小结 34

自我检测题2 36

复习题2 37

3复变函数的积分 39

3.1复变函数积分的概念 39

3.1.1复变函数积分的定义 39

3.1.2复变函数积分存在条件 40

3.1.3复变函数积分的计算 41

3.1.4复变函数积分的性质 42

3.2柯西-古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 44

3.3原函数与不定积分 46

3.4基本定理的推广——复合闭路定理 48

3.5柯西积分公式 51

3.6解析函数的高阶导数 53

3.7解析函数与调和函数的关系 56

本章小结 60

自我检测题3 64

复习题3 64

4级数 67

4.1复数项级数 67

4.2函数项级数 69

4.2.1一般函数项级数 69

4.2.2幂级数 70

4.2.3幂级数收敛半径的求法 70

4.2.4幂级数和函数的解析性 71

4.3泰勒级数 72

4.4洛朗级数 76

本章小结 80

自我检测题4 84

复习题4 84

5留数理论及其应用 86

5.1孤立奇点 86

5.1.1孤立奇点的分类 86

5.1.2函数的零点与极点的关系 88

5.1.3无穷远点是函数的孤立奇点的情形 90

5.2留数 91

5.2.1留数的定义和留数定理 91

5.2.2留数的计算 92

5.2.3无穷远点的留数 94

5.3利用留数计算定积分 96

5.3.1 ∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ型积分 96

5.3.2 ∫+∞-∞R（x）dx型积分 97

5.3.3 ∫+∞-∞R（x）eaixdx（a＞0）型积分 99

5.4对数留数与辐角原理 100

5.4.1对数留数 100

5.4.2辐角原理 102

5.4.3儒歇（Rouche）定理 103

本章小结 104

自我检测题5 108

复习题5 109

6保形映射 111

6.1保形映射的概念 111

6.1.1解析函数导数的几何意义 111

6.1.2保形映射的概念 113

6.2分式线性映射 114

6.2.1分式线性映射及其逆映射 114

6.2.2分式线性映射的分解 114

6.2.3分式线性映射的性质 115

6.2.4分式线性变换的保交比性 118

6.2.5 3个典型的分式线性映射 120

6.3几个初等函数所构成的映射 123

6.3.1幂函数w=zn与根式函数z=n?w（n是不小于2的自然数） 123

6.3.2指数函数w=ez与对数函数z=㏑w（这里的㏑w指主值支） 124

6.4综合举例 126

6.4.1由圆弧构成的两角形区域上的保形映射 126

6.4.2应用举例 128

本章小结 129

自我检测题6 134

复习题6 136

7傅里叶变换 137

7.1傅里叶积分 137

7.1.1周期函数的傅里叶级数的复指数形式 138

7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式 139

7.2傅里叶变换 141

7.2.1傅里叶变换的定义 141

7.2.2傅里叶变换的性质 143

7.3 δ-函数与广义傅里叶变换 150

7.3.1 δ-函数的定义 150

7.3.2 δ-函数的性质 150

7.3.3广义傅里叶变换 152

本章小结 155

自我检测题7 161

复习题7 162

8拉普拉斯变换 163

8.1拉普拉斯变换的概念 163

8.1.1拉普拉斯变换的定义 163

8.1.2拉普拉斯变换的存在定理 164

8.2拉普拉斯变换的性质 166

8.2.1拉普拉斯变换的基本性质 166

8.2.2卷积与卷积定理 170

8.3拉普拉斯逆变换 171

8.4拉普拉斯变换的应用 173

本章小结 175

自我检测题8 179

复习题8 180

附录1 傅里叶变换简表 182

附录2 拉普拉斯变换简表 185

习题参考答案 191

参考文献 200