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第一篇 非线性椭圆型方程 1

第一章 拓扑度理论及其应用 1

1.1 非线性算子的一些基本概念 1

1.1.1 有界性与连续性 1

1.1.2 导算子与微分 7

1.2 隐函数定理与方程的分支解 18

1.2.1 隐函数定理 18

1.2.2 分支定理 21

1.3 有限维空间映射的拓扑度（Brouwer度） 25

1.3.1 C1映射的拓扑度 25

1.3.2 Brouwer度的积分表达式 32

1.3.3 P是临界值的情形 34

1.3.4 连续映射的拓扑度 41

1.4 Leray-Schauder度 47

1.4.1 全连续算子 47

1.4.2 Leray-Schauder度的定义 51

1.4.3 Leray-Schauder度的性质 55

1.4.4 Leray-Schauder度的计算 59

1.5 不动点定理 64

1.6 一般的分支定理 68

第二章 半线性二阶椭圆型方程 74

2.1 二阶线性椭圆型方程的理论简述及其应用 74

2.2 耦合方程组的边值问题 81

2.2.1 解的梯度的最大模估计 81

2.2.2 解的存在性 83

2.3 单个方程的边值问题 91

2.3.1 上、下解方法 92

2.3.2 拟上、下解方法 97

2.3.3 最大解与最小解 101

2.3.4 二维半线性椭圆型方程的正解 106

2.4 多解性的一些结果 114

2.5 非线性边界条件的边值问题 120

2.6 具散度型主部方程弱解的存在性 123

2.7 无界域内的边值问题 128

2.8 变分方法 139

2.8.1 泛函极值的必要条件 139

2.8.2 弱下半连续泛函的极值 140

2.8.3 凸泛函的极值 141

2.8.4 Palais-Smale条件 147

2.8.5 山路引理 150

2.8.6 临界点理论在半线性椭圆型方程中的应用 154

第二篇 非线性发展方程 170

第三章 半群理论及其应用 170

3.1 有界线性算子半群 170

3.1.1 一个例子 170

3.1.2 有界线性算子的一致连续半群 172

3.1.3 有界线性算子的强连续半群 175

3.2 Hille-Yosida定理 178

3.3 增殖算子 186

3.4 抽象发展方程的初值问题 188

3.5 半线性发展方程 199

3.6 一些特殊类型的发展方程 210

3.6.1 线性热传导方程的初边值问题 210

3.6.2 半线性热传导方程的初边值问题 213

3.6.3 线性波动方程的初边值问题 215

3.6.4 非线性波动方程的初边值问题 218

3.6.5 非线性Schrǒdinger方程 220

3.7 Kōmura-Kato方法 225

3.7.1 Banach空间内的一些收敛性 226

3.7.2 Bochner积分 228

3.7.3 增殖算子与增殖集 230

3.7.4 Kōmura方法 234

3.8 Crandall-Liggett方法 240

第四章 单调算子的理论及其应用 257

4.1 单调算子及其基本性质 257

4.1.1 单调算子的概念 257

4.1.2 单调算子的基本性质 260

4.2 单调算子的满射性 266

4.3 非线性发展方程的初值问题 271

第五章 Aubin紧性引理及其应用 281

5.1 Aubin紧性引理 281

5.2 其它一些命题 285

5.3 应用举例 289

5.4 一类退化抛物型方程的初边值问题 299

5.4.1 几个引理 300

5.4.2 p＞2＋a时的整体存在性与唯一性 304

5.4.3 p＜2＋a时的整体存在性与唯一性 309

5.4.4 Blow-up现象 311

第六章 Nash-Moser-Hǒrmander迭代法 316

6.1 普通迭代法中的导数损失问题 316

6.2 n维波动方程Cauchy问题解的先验估计 322

6.2.1 解的表达式 322

6.2.2 解的L∞模估计 324

6.2.3 解的导数的L∞模估计 330

6.2.4 非齐次方程解的估计 336

6.3 二阶线性双曲型方程解的估计 338

6.3.1 一些引理 340

6.3.2 二阶双曲型方程的能量估计 344

6.3.3 非线性双曲型方程解的估计 350

6.4 光滑化算子 354

6.5 Nash-Moser-Hǒrmander迭代方法 357

6.5.1 迭代程序 358

6.5.2 一些估计式 359

6.5.3 主要结果的证明 378

第七章 退化抛物型方程的正则化方法 381

7.1 方程的实际背景 381

7.1.1 液体通过稀疏介质的流动 381

7.1.2 人口模型 383

7.2 比较原理 385

7.2.1 初边值问题的比较原理 385

7.2.2 Cauchy问题的比较原理 390

7.3 正则化方法 394

7.3.1 一维渗流方程的初边值问题 394

7.3.2 高维渗流方程的初边值问题 397

7.3.3 Cauchy问题 403

7.4 界面的增长性与解的渐近性态 418

参考文献 428