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第1章 度量空间的完备性与紧性 1

1.1 完备的度量空间与压缩映射原理 1

1.2 空间的完备化 6

1.3 紧性与可分性 8

第2章 赋范线性空间 11

2.1 Banach空间 11

2.2 Hilbert空间 14

第3章 线性算子与线性泛函 21

3.1 有界线性算子 21

3.2 Baire纲定理和Banach逆算子定理 25

3.3 闭图像定理与共鸣定理 26

3.4 Hahn-Banach定理和Riesz表示定理 28

第4章 自反空间、共轭算子和弱收敛 32

4.1 自反空间 32

4.2 共轭算子 33

4.3 弱收敛和弱＊收敛 35

第5章 Fredholm理论和谱论初步 38

5.1 紧线性算子 38

5.2 Fredholm定理 39

5.3 有界线性算子的谱 42

5.4 实Hilbert空间中对称紧线性算子的谱 45

第6章 Ekeland变分原理与不动点定理 51

6.1 Ekeland变分原理与Caristi不动点定理 51

6.2 紧算子的不动点 56

第7章 Sobolev空间与Poisson方程的变分方法 63

7.1 弱导数与Sobolev空间 63

7.2 Poisson方程的变分方法 69

7.3 Laplace算子的特征值 73

7.4 一维Laplace算子 78

第8章 Banach空间中的微分 81

8.1 G微分与F微分 81

8.2 高阶微分 89

8.3 隐函数定理和反函数定理 92

8.4 Riemann积分 97

8.5 Banach空间中的微分方程 100

第9章 临界点理论及应用 103

9.1 能量泛函与临界点 103

9.2 山路定理及其应用 109

9.3 最小作用定理及其应用 115

9.4 下降流线与Minimax定理 117

第10章 泛函的极值与单调梯度映射 121

10.1 梯度映射 121

10.2 弱下半连续泛函 125

10.3 泛函的极值与临界点 127

10.4 单调梯度映射 130

第11章 变分方法在工程中的应用 133

11.1 刚塑性可压缩材料模型 133

11.2 总能耗率泛函 135

11.3 热轧过程总能耗率泛函极值点的存在与唯一性 139

11.4 热轧问题的逼近可解性 150

参考文献 163