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1偏微分方程及其分类 1

1.1偏微分方程的基本概念 1

1.2二阶二元线性偏微分方程的分类 3

1.3二阶多元线性偏微分方程的分类 14

习题 20

2三类典型问题及其定解条件 21

2.1三类典型方程的导出 21

2.1.1波动方程 21

2.1.2输运方程 25

2.1.3稳态场方程 27

2.2定解条件 30

2.3定解问题的适定性 33

2.3.1Laplace方程的适定性 35

2.3.2热传导方程的适定性 36

2.3.3波动方程的适定性 39

2.4数理方程反问题 41

习题 45

3微分算子、物理场和坐标系 47

3.1矢量和张量 47

3.1.1矢量 47

3.1.2张量 55

3.2Hamilton算子 59

3.2.1梯度 59

3.2.2散度 62

3.2.3旋度 67

3.2.4Hamilton算子的复杂运算 70

3.3物理场 71

3.3.1有势场 72

3.3.2管形场 74

3.3.3调和场 75

3.4正交曲线坐标系 80

3.4.1曲线坐标系 80

3.4.2基矢量与弧微分的表示 82

3.4.3梯度、散度和旋度的表示 89

习题 97

4直角坐标系下的分离变量法 100

4.1有界弦的自由振动 100

4.2有界杆的热传导 103

4.3斯图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）特征值问题 112

4.4级数解的收敛性 120

4.5非齐次定解问题 124

习题 138

5圆柱坐标系下的分离变量法 140

5.1极坐标系下的拉普拉斯方程 140

5.2圆柱坐标系下的亥姆霍斯方程 147

5.3贝塞尔方程的求解 150

5.4贝塞尔函数的性质 156

5.4.1贝塞尔函数的零点 157

5.4.2贝塞尔函数的渐进性质 159

5.4.3贝塞尔函数的递推关系式 161

5.4.4贝塞尔函数的正交性 164

5.4.5半奇数阶的贝塞尔函数 165

5.4.6整数阶的贝塞尔函数 165

5.4.7平面波按柱波函数的展开式 166

5.4.8柱波函数的加法公式 167

5.4.9整数阶贝塞尔函数的积分形式 170

5.5贝塞尔方程的特征值问题 170

5.6综合应用 174

习题 187

6球坐标系下的分离变量法 189

6.1球坐标系下的亥姆霍斯方程和拉普拉斯方程 189

6.2勒让德方程的求解 195

6.3勒让德多项式的性质 200

6.3.1Pl（x）和Pml（x）的基本性质 200

6.3.2Pl（x）和Pml（x）的微分和积分表达式 202

6.3.3Pl（x）和Pml（x）的正交性 203

6.3.4母函数及递推关系式 204

6.3.5球面调和函数及其正交性 205

6.3.6平面波展开公式 207

6.3.7加法公式 208

6.4勒让德方程和球贝塞尔方程的特征值问题 211

6.5综合应用 215

习题 227

7无界域的分离变量法 229

7.1一维无界域的分离变量法 229

7.2二维和三维无界域的分离变量法 237

习题 242

参考文献 244