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第一章 预备知识 1

1.1拓扑空间 1

1.1.1拓扑空间的概念 1

1.1.2拓扑基 4

1.1.3连续映射和同胚 5

1.1.4连通性 6

1.1.5 A2空间 7

1.1.6 T2空间 7

1.1.7紧致性 8

1.2向量值函数 9

1.2.1向量值函数的概念 9

1.2.2向量值函数的连续性 11

1.2.3向量值函数的可微性 11

1.2.4反函数定理 14

1.2.5秩定理 15

1.3张量代数 16

1.3.1向量空间及其对偶空间 16

1.3.2张量的定义 18

1.3.3张量积运算 24

1.3.4对称和反对称协变张量 29

1.4外代数 31

1.4.1外积 32

1.4.2外代数 34

1.4.3几个重要定理 36

问题与练习 39

第二章 微分流形 43

2.1微分流形的定义和例子 43

2.2微分流形上的可微函数与可微映射 54

2.2.1可微函数 54

2.2.2流形间的可微映射 56

2.2.3流形上的光滑曲线 58

2.2.4流形间的光滑同胚 59

2.3切空间和余切空间 60

2.3.1流形M在点P的切向量Xp 61

2.3.2流形M在点P的切空间Tp（M） 62

2.3.3流形M在点P的余切向量与余切空间 68

2.4切映射与余切映射 73

2.4.1切映射 73

2.4.2余切映射 75

2.5子流形 78

2.5.1光滑映射的进一步讨论 78

2.5.2子流形 80

问题与练习 85

第三章 流形上的张量场 87

3.1流形上的切向量场 87

3.1.1基本概念 87

3.1.2 Poisson括号积 92

3.1.3光滑切向量场的积分曲线 94

3.1.4 F—相关性 95

3.1.5单参数变换群 96

3.2流形上点P的（r，s）型张量 101

3.2.1基本概念 101

3.2.3协变张量的张量积 102

3.2.3反称协变张量的外积及其性质 103

3.3流形上的张量场 105

3.4黎曼度量 111

问题与练习 114

第四章 外微分形式的积分和Stokes定理 116

4.1外微分形式 116

4.1.1s阶外微分形式 116

4.1.2外微分形式的外积 117

4.1.3外微分形式间的拉回映射 119

4.1.4 Cartan定理 121

4.2外微分算子d 122

4.3外微分形式的积分Stokes定理 128

4.3.1流形的定向 128

4.3.2带边流形和它的定向 130

4.3.3流形上的m阶外微分形式ω的积分与Stokes定理 132

问题与练习 135

第五章 仿射联络空间 137

5.1仿射联络 137

5.1.1仿射联络的定义及局部表示 137

5.1.2仿射联络的存在性定理 139

5.1.3仿射联络的挠率和曲率 140

5.1.4仿射联络的结构方程 143

5.2仿射联络空间上张量场沿切向量场的共变导数 144

5.2.1切向量场Y沿切向量场X的共变导数 144

5.2.2余切向量场ω沿X方向的共变导数▽xω 145

5.2.3（r，s）型张量场T沿切向量场X的共变导数▽xT 147

5.3仿射联络空间上张量场T的共变微分▽T 148

5.4 Riemann流形上的Laplace算子 154

5.4.1 Riemann度量诱导仿射联络 154

5.4.2▽f的定义及局部表示 157

5.4.3散度、梯度和Laplace算子的性质 160

5.4.4 Hopf引理 162

问题与练习 165