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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、区间和邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的几种特性 6

习题1.1 8

1.2 反函数与复合函数 9

1.2.1 反函数 9

1.2.2 复合函数 10

习题1.2 11

1.3 初等函数及常用函数 11

1.3.1 基本初等函数和初等函数 11

1.3.2 双曲函数和反双曲函数 13

1.3.3 常用经济函数 14

1.3.4 常用物理函数 17

习题1.3 18

1.4 数列的极限 19

1.4.1 数列极限的概念 19

1.4.2 收敛数列的性质 22

习题1.4 23

1.5 函数的极限 24

1.5.1 自变量趋于有限值时函数的极限 24

1.5.2 自变量趋于无穷大时函数的极限 26

1.5.3 左、右极限 27

1.5.4 函数极限的性质 28

1.5.5 子序列的收敛性 28

习题1.5 29

1.6 无穷小与无穷大 30

1.6.1 无穷小 31

1.6.2 无穷小的运算性质 31

1.6.3 无穷大 33

1.6.4 无穷小与无穷大的关系 33

习题1.6 34

1.7 极限运算法则 35

习题1.7 39

1.8 极限存在准则两个重要极限 40

1.8.1 夹逼准则 40

1.8.2 单调有界准则 41

1.8.3 两个重要极限 42

习题1.8 46

1.9 无穷小的比较 48

1.9.1 无穷小比较的概念 48

1.9.2 等价无穷小 49

习题1.9 51

1.10 函数的连续与间断 51

1.10.1 函数的连续性 52

1.10.2 连续函数与连续区间 54

1.10.3 函数的间断点 55

习题1.10 57

1.11 连续函数的运算与性质 58

1.11.1 连续函数的运算 58

1.11.2 复合函数的连续性 59

1.11.3 初等函数的连续性 60

1.11.4 闭区间上连续函数的性质 61

习题1.11 62

复习题1 63

第2章 导数与微分 66

2.1 导数的概念 66

2.1.1 引例 66

2.1.2 导数的定义 67

2.1.3 可导性与连续性 70

习题2.1 70

2.2 函数的求导法则 72

2.2.1 求导的四则运算法则 72

2.2.2 反函数的求导法则 74

2.2.3 复合函数的求导法则 75

习题2.2 77

2.3 隐函数及参数方程的求导 78

2.3.1 隐函数的求导法 78

2.3.2 由参数方程确定的函数的求导法 81

习题2.3 82

2.4 高阶导数 83

2.4.1 高阶导数的定义 83

2.4.2 一些常用函数任意阶导数的表达式 84

习题2.4 86

2.5 函数的微分 87

2.5.1 微分的定义 87

2.5.2 微分的几何意义 88

2.5.3 微分的近似计算 89

2.5.4 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 90

习题2.5 92

复习题2 93

第3章 微分中值定理与导数的应用 96

3.1 微分中值定理 96

3.1.1 罗尔定理 96

3.1.2 拉格朗日中值定理 97

3.1.3 柯西中值定理 99

习题3.1 100

3.2 洛必达法则 101

3.2.1 “0/0”型与“∞/∞”型未定式 101

3.2.2 其他类型的未定式 104

习题3.2 105

3.3 泰勒公式 106

习题3.3 109

3.4 函数的单调性、曲线的凹凸性与极值 110

3.4.1 函数单调性的判定法 110

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 112

3.4.3 函数的极值 115

习题3.4 118

3.5 函数的最值及其应用 120

3.5.1 函数的最大值与最小值 120

3.5.2 最值在经济学中的应用 121

习题3.5 123

3.6 函数图像的描绘 124

习题3.6 127

3.7 曲率 128

3.7.1 弧微分 128

3.7.2 曲率及其计算公式 129

3.7.3 曲率圆与曲率半径 131

习题3.7 132

复习题3 133

第4章 不定积分 135

4.1 不定积分的概念与性质 135

4.1.1 原函数与不定积分的概念 135

4.1.2 不定积分的几何意义 136

4.1.3 积分运算与微分运算的关系 136

4.1.4 基本积分表 137

4.1.5 不定积分的性质 137

习题4.1 139

4.2 换元积分法 140

4.2.1 第一类换元法 140

4.2.2 第二类换元法 142

习题4.2 144

4.3 分部积分法 145

习题4.3 147

4.4 几种特殊类型函数的积分 148

4.4.1 有理函数的积分 148

4.4.2 三角函数有理式的积分 149

4.4.3 某些无理函数的积分 150

习题4.4 151

复习题4 152

第5章 定积分及其应用 154

5.1 定积分的概念与性质 154

5.1.1 引例 154

5.1.2 定积分的定义 156

5.1.3 定积分的几何意义 157

5.1.4 定积分的近似计算 158

5.1.5 定积分的性质 158

习题5.1 160

5.2 微积分基本公式 161

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 161

5.2.2 积分上限的函数及其导数 161

5.2.3 微积分基本公式 163

习题5.2 164

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 165

5.3.1 定积分的换元积分法 165

5.3.2 定积分的分部积分法 167

习题5.3 168

5.4 广义积分 169

5.4.1 无穷区间上的广义积分——无穷积分 169

5.4.2 无界函数的广义积分——瑕积分 171

习题5.4 173

5.5 定积分的应用 173

5.5.1 定积分的微元法 174

5.5.2 定积分求平面图形的面积 175

5.5.3 定积分求体积 177

习题5.5 179

复习题5 179

第6章 实验 181

6.1 一元函数的作图和求极限 181

6.1.1 基本命令 181

6.1.2 实验内容 181

6.1.3 实验作业 185

6.2 一元函数的求导 186

6.2.1 基本命令 186

6.2.2 实验内容 186

6.2.3 实验作业 188

6.3 导数的应用 189

6.3.1 基本命令 189

6.3.2 实验内容 189

6.3.3 实验作业 193

6.4 一元函数积分的计算 193

6.4.1 基本命令 193

6.4.2 实验内容 194

6.4.3 实验作业 196

参考文献 198

参考答案 199

附录 常用积分公式 224