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第1章 矩阵和行列式 1

1.1 矩阵的概念 1

1.2 矩阵的基本运算 4

1.2.1 矩阵的加法 5

1.2.2 数与矩阵相乘 5

1.2.3 矩阵的乘法 6

1.2.4 方阵的幂 9

1.2.5 矩阵的转置 10

1.2.6 共轭矩阵 11

1.3 方阵的行列式 11

1.3.1 全排列与逆序数 11

1.3.2 n阶行列式的定义 12

1.3.3 行列式的性质 14

1.3.4 行列式的计算 18

1.3.5 方阵的行列式 24

1.4 几种常用的特殊矩阵 24

1.4.1 对角矩阵 24

1.4.2 数量矩阵 25

1.4.3 三角形矩阵 25

1.4.4 对称矩阵 26

1.4.5 正交矩阵 27

1.4.6 伴随矩阵 28

1.5 逆矩阵 29

1.5.1 逆矩阵的定义及求法 29

1.5.2 可逆矩阵的性质 32

1.5.3 几种特殊矩阵的逆矩阵 33

1.5.4 克莱姆法则 34

1.6 矩阵的分块运算 36

1.6.1 矩阵的分块 36

1.6.2 分块矩阵的运算规则 37

1.6.3 分块对角矩阵 41

习题1 45

第2章 n维向量 50

2.1 向量及其运算 50

2.1.1 向量的概念 50

2.1.2 向量的运算 50

2.2 向量的线性关系 53

2.2.1 线性组合 53

2.2.2 向量组的线性相关性 55

2.2.3 线性相关性判别 56

2.3 向量组的秩 60

2.3.1 向量组的等价 60

2.3.2 向量组的秩 61

2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵 63

2.4.1 矩阵的初等变换 63

2.4.2 初等矩阵 67

2.4.3 矩阵方程 71

2.5 矩阵的秩 74

2.5.1 矩阵的秩 74

2.5.2 矩阵的秩与向量组的秩 76

习题2 79

第3章 线性方程组 82

3.1 线性方程组的解 82

3.1.1 非齐次线性方程组解的存在性 82

3.1.2 齐次线性方程组解的存在性 90

3.2 线性方程组解的结构 92

3.2.1 齐次线性方程组解的结构 92

3.2.2 非齐次线性方程组解的结构 98

3.3 向量的线性相关性与线性方程组的解 100

3.3.1 向量组的线性相关性与线性方程组的解 100

3.3.2 向量的线性表示与线性方程组的解 101

3.3.3 向量组的线性表示 103

习题3 105

第4章 矩阵的特征问题与相似对角化 109

4.1 向量的度量性质 109

4.1.1 向量的内积 109

4.1.2 向量的长度 110

4.1.3 向量的夹角 110

4.2 线性无关组的正交化 111

4.2.1 正交向量组 111

4.2.2 线性无关组的正交化、单位化 113

4.2.3 正交矩阵 115

4.2.4 正交变换 116

4.3 特征值与特征向量 116

4.3.1 特征值与特征向量的定义与求法 116

4.3.2 特征值与特征向量的性质 119

4.4 相似矩阵 121

4.4.1 相似矩阵的概念 121

4.4.2 相似矩阵的性质 122

4.4.3 矩阵与对角矩阵相似的条件 124

4.5 实对称矩阵的对角化 127

4.5.1 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 127

4.5.2 实对称矩阵的对角化 128

习题4 130

第5章 二次型 133

5.1 二次型及其矩阵表示 133

5.1.1 二次型的概念 133

5.1.2 二次型的矩阵形式 134

5.1.3 矩阵的合同 135

5.2 化二次型为标准形 136

5.2.1 用配方法化二次型为标准形 136

5.2.2 用初等变换化二次型为标准形 138

5.2.3 用正交变换化实二次型为标准形 140

5.2.4 实二次型的规范形 142

5.3 二次型的正定性 143

5.3.1 实二次型有定性的概念 143

5.3.2 正定二次型（正定矩阵）的判别 143

习题5 148

第6章 线性空间与线性变换 149

6.1 线性空间及其子空间 149

6.1.1 线性空间的概念 149

6.1.2 线性空间的一些基本性质 151

6.1.3 子空间 151

6.2 维数、基与坐标 153

6.2.1 线性空间中向量的线性关系 153

6.2.2 生成子空间 154

6.2.3 维数、基与坐标 154

6.3 基变换与坐标变换 157

6.3.1 基变换公式与过渡矩阵 157

6.3.2 坐标变换公式 158

6.4 线性空间的同构 160

6.4.1 映射的概念与映射的相等 160

6.4.2 满射、单射与双射 160

6.4.3 映射的乘法与可逆映射 161

6.4.4 同构映射与线性空间的同构 161

6.5 线性变换的定义与性质 164

6.5.1 线性映射与线性变换 164

6.5.2 线性变换的值域与核 165

6.6 线性变换的矩阵 166

6.6.1 线性变换在给定基下的矩阵 166

6.6.2 线性变换与其矩阵的关系 167

6.6.3 同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系 168

6.6.4 向量的像的坐标 170

6.7 线性变换的运算 171

6.7.1 线性变换的运算方法 171

6.7.2 线性变换的运算与矩阵的关系 171

习题6 173

习题参考答案 175