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第一章 典型方程与方程的分类 1

1.1 典型方程 1

1.2 定解条件与定解问题 7

1.3 基本概念与定解问题 10

1.4 经典线性偏微分方程 12

1.5 经典非线性偏微分方程 14

1.6 两个自变量的二阶线性偏微分方程 15

习题一 20

第二章 线性偏微分方程的解法 23

2.1 一阶线性偏微分方程问题及解法 23

2.2 二阶偏微分方程的通解 26

2.3 常系数方程通解的行波解 27

2.4 常系数方程通解的微分算子法 29

习题二 32

第三章 行波法与微分算子法 34

3.1 行波法 34

3.2 高维波动方程的初值问题 38

3.3 微分算子法 41

3.4 积分变换法 46

习题三 50

第四章 分离变量法 53

4.1 一阶问题的分离变量法 53

4.2 有界弦的自由振动 53

4.3 有限长杆的热传导问题 58

4.4 二维拉普拉斯方程的边值问题 60

4.5 非齐次方程的求解问题 64

4.6 具有非齐次边界条件的问题 70

4.7 固有值与固有函数 74

4.8 初、边值问题的微分算子法 75

习题四 79

第五章 贝塞尔函数及应用 83

5.1 贝塞尔方程的导出 83

5.2 贝塞尔函数 84

5.3 贝塞尔函数的性质 88

5.4 贝塞尔方程的固有值问题 94

习题五 97

第六章 勒让德多项式 100

6.1 勒让德方程的导出 100

6.2 勒让德方程的解 101

6.3 勒让德多项式的性质及母函数 103

6.4 勒让德多项式及勒让德级数解 106

习题六 110

第七章 能量积分法与变分方法 112

7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式 112

7.2 初值问题解的唯一性与稳定性 116

7.3 初边值问题的能量不等式 117

7.4 变分方法的物理背景 119

7.5 变分问题的可解性 120

7.6 吕兹-伽辽金方法 122

习题七 125

第八章 非线性数学物理方程 127

8.1 典型非线性方程及其行波解 127

8.2 Hopf-Cole变换和Hirota方法 140

习题八 149

第九章 格林函数法 151

9.1 格林公式 151

9.2 拉普拉斯方程基本解和格林函数 153

9.3 半空间及圆域上的狄利克雷问题 155

9.4 一维热传导方程和波动方程半无界问题 157

9.5 试探函数法 159

习题九 161

附录Ⅰ 线性常微分方程解法索引（十三法） 164

附录Ⅱ 特殊函数的图像 170

附录Ⅲ 数学物理方程的计算机仿真 182

附录Ⅳ 习题部分参考答案 203