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序 1

第一章 预备知识 1

1—1 矢量空间 1

目录 1

1—2 线性变换和特征向量 4

3—2 平面曲线的旋转指标 （7 5

1—3 定向和叉积 6

1—4 直线、平面及球面 13

1—5 向量微积分 14

第二章 局部曲线论 19

2—1 基本定义和例子 19

2—2 弧长 24

2—3 曲率和Frenet-Serret标架 26

2—4　Frenet-Serret定理及其推论 33

2—5　曲线的基本定理 62

2—6　非单位速率曲线 66

第三章　平面曲线的整体理论 73

3—1　线积分与Green定理 73

3—3 凸曲线 76

3—4 等周不等式 77

3—5 四顶点定理 77

第四章 局部曲面论 85

4—1 基本定义和例子 85

4—2 曲面 95

4—3 第一基本形式和弧长 99

4—4 法曲率，测地曲率和高斯公式 103

4—5 测地线 115

4—6 沿曲线的平行向量场和平行移动 129

4—7 第二基本形式和Weingarten映射 133

4—8 主曲率、高斯曲率、平均曲率和法曲率 137

4—9 黎曼曲率和高斯基本定理 169

4—10　等距和曲面基本定理 181

4—11 常曲率曲面 190

第五章 空间曲线的整体理论 197

5—1　Fenchel定理 197

5—2　Fary-Milnor定理 198

5—3　全挠率 200

第六章 曲面的整体理论 201

6—1 简单的有关曲率的结果 201

6—2 测地坐标片 203

6—3 可定向性和角变差 206

6—4 Gauss-Bonnet公式 207

6—5 Gauss-Bonnet定理和Euler示性数 209

6—6 Jacobi定理和Hadamard定理 212

6—7 向量场的指标 215

第七章 流形的初步 217

7—1 一些分析预备知识 217

7—2 流形—定义与例子 219

7—3 向量场和切空间 223

7—4 向量场和李括号 226

7—5 映射的微分和子流形 231

7—6 流形上的线性联络 235

7—7 具有线性联络流形上的平行向量与测地线 239

7—8 黎曼度量、距离和曲率 244