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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数及其基本运算 1

1.1.1 复数的基本概念 1

1.1.2 复数的代数运算 3

1.1.3 平面图形的复数表示 5

1.2 复变函数 7

1.2.1 邻域和区域 7

1.2.2 复变函数的概念 8

1.2.3 函数的极限和连续性 10

1.3 用MATLAB软件计算复数 12

1.3.1 复数矩阵的输入及其虚、实部的求算 12

1.3.2 复数矩阵间的四则运算 18

1.3.3 复变函数取值和极限的求算 20

思考与练习题 23

第2章 解析函数 24

2.1 解析函数与柯西-黎曼条件 24

2.1.1 函数的导数与微分 24

2.1.2 柯西-黎曼条件 26

2.1.3 初等解析函数 31

2.2 用MATLAB软件求算复变函数 38

2.2.1 函数表达式、曲面图及方程求解 38

2.2.2 函数的取值 43

2.2.3 函数的求导 45

2.3 复变函数应用举例 47

2.3.1 电路分析中的相量 47

2.3.2 平面静电场的复势 51

2.3.3 平面流速场的复势 55

思考与练习题 58

第3章 积分 60

3.1 复变函数积分的概念 60

3.1.1 复积分的定义及计算方法 60

3.1.2 复变函数积分的性质 63

3.2 柯西定理和不定积分 64

3.2.1 柯西-古萨定理 64

3.2.2 复合闭路定理 65

3.2.3 原函数与不定积分 66

3.3 柯西公式 69

3.3.1 柯西积分公式 69

3.3.2 柯西积分公式的几个推论 71

3.3.3 柯西导数公式 72

3.4 复积分的MATLAB计算 74

3.4.1 直接利用MATLAB计算 74

3.4.2 变换后利用MATLAB计算 76

3.5 解析函数、调和函数与泊松公式 77

3.5.1 解析函数与调和函数 77

3.5.2 泊松公式 84

思考与练习题 85

第4章 级数 87

4.1 复变函数项级数 87

4.1.1 复数项级数 87

4.1.2 复变函数项级数的概念 91

4.2 幂级数 92

4.2.1 幂级数和阿贝尔定理 92

4.2.2 收敛圆与收敛半径 93

4.2.3 幂级数的性质和运算 96

4.3 泰勒级数 98

4.3.1 泰勒级数的概念 98

4.3.2 函数展开成泰勒级数 99

4.4 洛朗级数 104

4.4.1 洛朗级数的概念 104

4.4.2 函数展开成洛朗级数 108

思考与练习题 116

第5章 留数 118

5.1 孤立奇点 118

5.1.1 孤立奇点分类和可去奇点 119

5.1.2 极点和本性奇点 120

5.1.3 函数在无穷远处的性态 125

5.2 复变函数的留数 126

5.2.1 留数定理 126

5.2.2 留数总和定理 128

5.2.3 留数的求算方法 131

5.2.4 用MATLAB软件求算留数 135

5.3 留数在计算曲线积分中的应用 142

5.3.1 利用留数计算曲线积分 143

5.3.2 用MATLAB计算广义积分 153

5.4 对数留数与辐角原理 157

5.4.1 对数留数 157

5.4.2 辐角原理 158

5.4.3 路西定理 159

思考与练习题 160

第6章 共形映射 162

6.1 解析函数的性质 162

6.1.1 解析函数导数的几何意义 162

6.1.2 共形映射的概念 164

6.2 分式线性映射 165

6.2.1 分式线性映射的概念 165

6.2.2 分式线性映射的性质 166

6.2.3 分式线性映射的典型例题 172

6.3 若干初等复变函数 181

6.3.1 幂函数和根式函数 181

6.3.2 指数函数和对数函数 183

6.3.3 三角函数 188

6.3.4 儒可夫斯基函数 190

6.4 共形映射应用举例 192

6.4.1 复杂结构电容器电容的计算 192

6.4.2 数理方程边值问题的简化 195

思考与练习题 197

附录A MATLAB简介 198

A.1 MATLAB的基本功能 198

A.2 MATLAB的指令窗 199

A.2.1 指令窗简介 199

A.2.2 查询方法 201

A.3 MATLAB的演示窗 203

A.4 MATLAB的编辑窗 204

A.4.1 进入编辑调试窗 205

A.4.2 两类M-文件 205

A.5 MATLAB的计算功能 206

A.5.1 标识符赋值和字符串显示 206

A.5.2 数值矩阵及其运算 207

A.5.3 符号矩阵及其运算 209

A.6 MATLAB的图形窗 211

A.6.1 图形窗简介 211

A.6.2 初等绘图方法 213

附录B 书中用过的MATLAB指令 216

部分习题答案或提示 217

参考文献 221