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Chapter 1　绪论 1

1.1　误差和有效数字 1

1.1.1　截断误差和舍入误差 2

1.1.2　绝对误差和相对误差 3

1.1.3　有效数字 4

1.2　如何避免误差造成的损害 6

习题 11

Chapter 2　解线性方程组的直接法 13

2.1　高斯消去法 13

2.1.1　预备知识 13

2.1.2　高斯消去回代过程 14

2.2　高斯列主元消去法 19

2.3　两类特殊矩阵 23

2.3.1　严格对角占优矩阵 23

2.3.2　正定矩阵 26

2.4　高斯消去法解三对角方程组 26

2.5　向量的范数和矩阵的范数 28

2.5.1　向量的范数 28

2.5.2　矩阵的范数 29

2.6　病态方程组和条件数 31

2.7　程序 34

习题 37

Chapter 3　解线性方程组的迭代法 39

3.1　迭代法 40

3.1.1　雅可比迭代法 40

3.1.2　高斯—赛德尔迭代法 44

3.1.3　超松弛法 48

3.2　迭代法的收敛性分析 51

3.3　程序 56

习题 64

Chapter 4　非线性方程的数值解法 66

4.1　二分法 66

4.2　不动点迭代法 69

4.2.1　基本概念 69

4.2.2　收敛性分析 70

4.3　牛顿法和弦截法 74

4.3.1　牛顿法和收敛性分析 74

4.3.2　简单牛顿法 76

4.3.3　牛顿下山法 77

4.3.4　牛顿法求重根 78

4.3.5　弦截法 82

4.4　程序 84

习题 88

Chapter 5　插值法 90

5.1　拉格朗日插值 90

5.1.1　问题 90

5.1.2　插值多项式存在性和唯一性 90

5.1.3　拉格朗日插值多项式 91

5.1.4　拉格朗日误差公式 94

5.2　埃特金方法 98

5.3　牛顿插值 101

5.3.1　差商 101

5.3.2　差商型牛顿插值公式 103

5.4　埃尔米特插值 108

5.4.1　三次埃尔米特插值 108

5.4.2　带汇集差商的牛顿插值 111

5.5　分段多项式插值 113

5.5.1　龙格现象 113

5.5.2　分段线性多项式插值 114

5.5.3　分段三次埃尔米特插值 115

5.6　三次样条插值 117

5.6.1　基本概念 118

5.6.2　三次样条插值的构造 119

5.7　程序 124

习题 134

Chapter 6　曲线拟合和正交多项式 136

6.1　最小二乘法 136

6.1.1　最小二乘法 136

6.1.2　内积表示的最小二乘法 141

6.2　最佳平方逼近 147

6.3　正交多项式 152

6.3.1　基本概念 152

6.3.2　勒让德多项式 154

6.3.3　切比雪夫多项式 157

6.4　程序 165

习题 167

Chapter 7　数值微分和数值积分 168

7.1　数值微分 168

7.1.1　三点公式和五点公式 168

7.1.2　三次样条法 171

7.1.3　变步长中点法 172

7.1.4　李查逊外推法 173

7.2　数值积分的基本概念 176

7.3　牛顿—柯特斯求积公式 180

7.3.1　牛顿—柯特斯求积公式的基本概念 180

7.3.2　常用的牛顿—柯特斯求积公式 183

7.4　复化数值积分 185

7.5　龙贝格求积法 190

7.5.1　复化梯形公式的递推公式 190

7.5.2　龙贝格求积法 194

7.6　高斯求积法 195

7.6.1　基本概念 195

7.6.2　两种常用的高斯型求积公式 200

7.6.3　稳定性和收敛性 204

7.7　程序 205

习题 210

Chapter 8　常微分方程的数值解法 212

8.1　初值问题的基本概念 212

8.2　欧拉方法和改进的欧拉方法 213

8.2.1　欧拉方法和梯形方法 213

8.2.2　改进的欧拉方法 216

8.2.3　局部截断误差 218

8.3　龙格—库塔方法 219

8.3.1　二阶龙格—库塔法 219

8.3.2　常用的三阶和四阶龙格—库塔法 222

8.4　稳定性和收敛性 226

8.5　多步法 233

8.6　程序 237

习题 241

课本中的数学表达式及其读法 243

符号注释表 250

索引 248

上机实习题 260

部分习题答案 264

参考文献 269