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第1章　函数的极限与连续 1

1.1 函数的极限 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的极限 5

1.1.3 无穷小与无穷大 8

1.2　极限的运算 9

1.2.1 极限的运算法则 9

1.2.2 两个重要极限 10

1.3 函数的连续性 11

1.4 数学实验：MATLAB软件简介及极限运算 12

1.5　数学建模案例 16

1.5.1 数学模型的概念 16

1.5.2　数学建模过程 17

第2章　微分学及其应用 19

2.1　导数的概念 19

2.1.1 两个案例 19

2.1.2　导数的概念 22

2.1.3 用导数表示实际量——变化率模型 22

2.1.4　求导数举例 24

2.1.5 导数的几何意义 24

2.1.6 函数的可导性与连续性的关系 25

2.2　初等函数的导数 26

2.2.1　基本初等函数的导数公式 27

2.2.2 导数的运算法则 27

2.2.3　复合函数的导数 29

2.3　高阶导数 32

2.4　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 34

2.4.1 隐函数的导数 34

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 35

2.5　函数的微分 36

2.5.1　微分的概念 36

2.5.2　微分计算 38

2.5.3　微分在近似计算中的应用 39

2.6　函数的单调性与极值 41

2.6.1 函数单调性的判定法 41

2.6.2　函数的极值 43

2.7 函数的最大值与最小值及其应用 47

2.8　数学实验：导数运算的实验 51

2.9　数学建模案例 55

第3章　积分 63

3.1　定积分的概念 63

3.1.1 定积分的定义 65

3.1.2 定积分的性质 66

3.2　微积分基本定理 67

3.2.1 变上限的积分函数 67

3.2.2 原函数与不定积分 68

3.2.3　牛顿-莱布尼兹公式 70

3.3　基本积分法 71

3.3.1 第一类换元积分法 71

3.3.2 第二类换元积分法 72

3.3.3　分部积分法 73

3.4　定积分及其应用 74

3.4.1 平面图形的面积 74

3.4.2　旋转体的体积 75

3.5 数学实验：MATLAB中积分的求法 76

3.6 案例 79

第4章　常微分方程 82

4.1 基本概念 82

4.1.1 引例 82

4.1.2　基本概念 84

4.2　一阶微分方程 85

4.2.1 可分离变量方程的解法 85

4.2.2 齐次方程求解 87

4.2.3 一阶线性微分方程的解法 88

4.3　可降阶方程与二阶常系数齐次线性方程 92

4.3.1 可降阶方程 92

4.3.2　二阶常系数齐次性方程 94

4.4　数学实验：微分方程 98

4.5　建模实例 102

第5章　级数 106

5.1　数项级数 106

5.1.1　数项级数的概念 106

5.1.2　数项级数的性质 109

5.1.3　级数判敛法 110

5.1.4 一般常数项级数的绝对收敛与条件收敛 112

5.2 函数项级数与幂级数 113

5.2.1 函数项级数 113

5.2.2　幂级数及其收敛性 115

5.2.3　幂级数的性质 118

5.3 函数的幂级数展开 120

5.3.1　泰勒（Taylor）级数 120

5.3.2 函数的幂级数展开 121

5.3.3　级数展开式的应用——近似计算 124

5.4　傅里叶级数 125

5.4.1 三角级数 125

5.4.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数 126

5.4.3 以2l为周期的函数的展开问题 128

5.5　数学实验：级数 129

第6章　拉普拉斯变换 135

6.1　拉普拉斯变换的基本概念 135

6.2　拉普拉斯变换的性质 137

6.3　拉普拉斯逆变换 140

6.3.1　拉普拉斯逆变换性质 140

6.3.2 查表法 140

6.3.3 有理分式部分分式法 140

6.4　拉普拉斯变换的应用 142

6.5　数学实验：拉普拉斯（Laplace）变换 143

第7章　概率论与数理统计初步 146

7.1　概率的定义与公式 146

7.1.1 随机事件、概率的定义 146

7.1.2　概率的加法、乘法公式 149

7.2　随机变量及其分布 153

7.2.1 随机变量的概率 153

7.2.2 几种常见的随机变量的分布 154

7.3　期望与方差 157

7.3.1　数学期望（平均数） 157

7.3.2 方差 158

7.4　数理统计初步 159

7.4.1 常用统计量 160

7.4.2　参数估计 161

7.5　一元线性回归模型 163

7.6　数学实验 166

7.7　数学建模案例 170

7.7.1 传染病流行估计的数学模型 170

7.7.2 随机性决策模型 171

附录一　小型计算器统计计算方法介绍 174

附录二　标准正态分布上侧临界值表 176

参考文献 178