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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数及其代数运算 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的四则运算 1

1.2 复数的几何表示 3

1.2.1 用平面上的点和向量表示复数 3

1.2.2 模和辐角 4

1.3 复数的乘方与开方 7

1.3.1 乘积与商 7

1.3.2 乘幂与方根 9

1.3.3 复平面上的曲线 12

1.4 复球面与平面区域 14

1.4.1 复球面 14

1.4.2 区域 15

1.5 复变函数 17

1.5.1 复变函数的概念 17

1.5.2 复变函数的极限 19

1.5.3 复变函数的连续性 20

习题1 22

第2章 解析函数 26

2.1 解析函数的概念 26

2.1.1 复变函数的导数 26

2.1.2 复变函数微分的概念 28

2.1.3 解析函数的概念 29

2.2 函数解析的充要条件 30

2.3 初等函数 34

2.3.1 指数函数 34

2.3.2 对数函数 35

2.3.3 幂函数 36

2.3.4 三角函数 38

2.3.5 反三角函数 39

2.3.6 双曲函数和反双曲函数 40

习题2 41

第3章 复变函数积分 43

3.1 复变函数积分的概念 43

3.1.1 复变函数积分的定义 43

3.1.2 复变函数积分的性质 44

3.1.3 复变函数积分存在的条件与基本计算方法 44

3.2 柯西-古尔萨定理与复合闭路定理 47

3.2.1 柯西-古尔萨定理 47

3.2.2 复合闭路定理 49

3.3 原函数与不定积分 51

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 54

3.4.1 柯西积分公式 54

3.4.2 高阶导数公式 56

3.5 解析函数与调和函数的关系 60

3.5.1 调和函数与共轭调和函数 60

3.5.2 共轭调和函数的求法 61

习题3 63

第4章 级数 66

4.1 复数项级数 66

4.1.1 复数列的极限 66

4.1.2 级数的概念 67

4.2 幂级数 70

4.2.1 复变函数项级数 70

4.2.2 幂级数的概念 71

4.2.3 收敛圆与收敛半径 72

4.2.4 幂级数的运算性质和分析性质 75

4.3 泰勒级数 76

4.4 洛朗级数 81

习题4 88

第5章 留数 91

5.1 孤立奇点 91

5.1.1 孤立奇点的类型 91

5.1.2 函数在无穷远点的性态 96

5.2 留数 99

5.2.1 留数的定义及留数定理 99

5.2.2 函数在极点的留数计算准则 101

5.2.3 函数在无穷远点的留数 104

5.3 留数在定积分计算上的应用 107

5.3.1 形如∫2π0R（cosθ,sinθ）dθ的积分 107

5.3.2 形如∫+∞-∞R（x）dx的积分 109

5.3.3 形如∫+∞-∞R（x）eiax dx （a＞0）的积分 111

5.3.4 积分路径上有奇点的积分 113

5.4 对数留数与辐角原理 115

5.4.1 对数留数 115

5.4.2 辐角原理 117

习题5 119

第6章 共形映射 122

6.1 共形映射的概念 122

6.1.1 曲线的切向量 122

6.1.2 解析函数的导数的几何意义 123

6.1.3 共形映射的概念 125

6.2 分式线性映射 126

6.2.1 分式映射的概念 126

6.2.2 分式映射的三种特殊形式 126

6.2.3 分式映射的性质 128

6.2.4 唯一决定分式映射的条件 131

6.2.5 两个典型区域间的映射 132

6.3 几个初等函数所构成的映射 135

6.3.1 幂函数w＝zn（n≥2,n∈Z） 135

6.3.2 指数函数w＝ez 137

习题6 139

第7章 MATLAB在复变函数中的应用 141

7.1 复数的运算 141

7.1.1 复数的实部、虚部、共轭复数和辐角 141

7.1.2 复数的运算 142

7.2 复变函数的图形 143

7.2.1 三角函数的图形 143

7.2.2 其他函数的图形 144

7.3 复变函数的微积分 148

7.3.1 复变函数的极限 148

7.3.2 复变函数求导 149

7.3.3 复变函数求积分 150

7.3.4 复变函数方程求解 151

7.4 留数的计算与泰勒级数展开 151

7.4.1 留数的计算 151

7.4.2 泰勒级数展开 153

参考答案 154

参考文献 163