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第一章 线性空间上的线性算子 1

1 线性空间 1

1.1 线性空间的定义及基本性质 1

1.2 线性子空间 17

习题1-1 26

2 线性算子及其矩阵 28

2.1 线性空间上的线性算子 28

2.2 同构算子与线性空间同构 32

2.3 线性算子的矩阵表示 35

2.4 线性变换 39

2.5 线性变换的不变子空间 47

习题1-2 49

第二章 内积空间上的线性变换 53

1 内积空间 53

1.1 内积与欧氏空间 54

1.2 酉空间介绍 67

习题2-1 69

2 等积变换及其矩阵 71

2.1 正交换与正交矩阵 72

2.2 两类常用的正交变换及其矩阵 82

2.3 酉变换与酉矩阵介绍 94

习题2-2 96

3 其它几种线性变换及其矩阵 98

3.1 对称变换与厄尔密特变换 98

3.2 正规变换与正规矩阵 100

3.3 正交投影变换与正交投影矩阵 101

习题2-3 107

第三章 矩阵标准形 109

1 化矩阵为相似对角矩阵 109

1.1 特征值和特征向量的概念 110

1.2 代数重复度与几何重复度 116

1.3 利用特征值化为对角矩阵 120

1.4 矩阵对角化的应用 122

习题3-1 126

2 约当（Jordan）标准形 127

2.1 λ-矩阵的概念 127

2.2 λ-矩阵的标准形 129

2.3 不变因子与初等因子 132

2.4 利用初等因子化为约当标准形 152

2.5 约当标准形的应用 152

习题3-2 154

3 正规矩阵的酉对角化 156

习题3-3 159

第四章 矩阵分解 161

1 矩阵的三角分解 161

1.1 消元过程的矩阵描述 161

1.2 矩阵的三角分解 165

1.3 常用的三角分解公式 172

习题4-1 180

2 矩阵的QR（正交三角）分解 181

2.1 QR分解的概念 181

2.2 QR分解的实际求法 185

习题4-2 193

3 矩阵的最大秩分解 194

习题4-3 200

4 奇异值分解与谱分解 201

4.1 矩阵的奇异值分解 202

4.2 单纯矩阵的谱分解 206

习题4-4 209

第五章 线性赋范空间与矩阵范数 210

1 线性赋范空间 210

1.1 向量的范数 210

1.2 向量范数的性质 216

习题5-1 219

2 矩阵的范数 220

2.1 矩阵范数的定义与性质 220

2.2 算子范数 222

2.3 谱范数的性质和谱半径 228

习题5-2 232

3 矩阵的条件数 233

3.1 病态方程组与病态矩阵 233

3.2 矩阵的条件数 234

习题5-3 238

第六章 矩阵分析 240

1 向量序列和矩阵序列的极限 240

1.1 向量序列的极限 240

1.2 矩阵序列的极限 243

习题6-1 247

2 矩阵级数与矩阵函数 247

2.1 矩阵级数 247

2.2 矩阵函数 257

习题6-2 271

3 矩阵的微积分法 272

3.1 函数矩阵对实变量的导数 272

3.2 矩阵特殊的导数 272

3.3 矩阵的全微分 283

3.4 函数矩阵的积分 286

习题6-3 287

第七章 广义逆矩阵及其应用 289

1 矩阵的几种广义逆 289

1.1 广义逆矩阵的基本概念 289

1.2 减号逆A？ 290

1.3 自反广义逆Ar？ 294

1.4 最小范数广义逆Am？ 299

1.5 最小二乘广义逆Al？ 300

1.6 加号逆A+ 301

习题7-1 312

2 广义逆在解线性方程组中的应用 313

2.1 线性方程组的求解问题的提法 313

2.2 相容方程组的通解与A？ 315

2.3 相容方程组的极小范数解与Am？ 318

2.4 不相容方程组的最小二乘解与Al？ 321

2.5 加号逆A+的应用 324

习题7-2 327

第八章 克罗内克（Kronecker）积及其应用1 Kronecker积 328

1.1 Kronecker积的概念 328

1.2 Kronecker积的性质 329

习题8-1 336

2 Kronecker积应用举例 337

2.1 矩阵的拉直 337

2.2 线性矩阵方程的解 339

习题8-2 341

第九章 辛空间与辛变换简介 343

1 反对称纯量积与辛空间 343

1.1 反对称双线性函数 343

1.2 线性函数的外积 344

1.3 辛空间的定义 345

2 子空间的反对称正交补 346

2.1 反对称正交补 346

2.2 几种特殊的子空间 351

2.3 辛空间的性质 352

2.4 辛基 353

3 辛变换与辛矩阵 353

3.1 辛变换与辛矩阵 354

3.2 辛变换的特征值 358

4 辛对合 360

习题9 366

参考书目 367