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第七章 空间解析几何 1

第一节 空间曲面的轨迹与方程 1

一、空间直角坐标系 1

二、空间中两点间的距离 2

三、曲面方程的一般概念 3

四、常见曲面 4

习题7-1 11

第二节 空间曲线及其方程 12

一、空间曲线的一般方程 12

二、空间曲线的参数方程 12

三、空间曲线在坐标面上的投影 13

习题7-2 15

第三节 向量及其运算 16

一、向量的概念及其运算 16

二、向量在坐标系下的表示 19

三、向量在坐标系下的线性运算 21

四、向量的模与方向余弦的坐标表示 22

五、向量在轴上的投影和投影性质 24

六、向量的数量积 25

七、向量的向量积 27

八、向量的混合积 31

习题7-3 33

第四节 平面及其方程 34

一、平面的点法式方程 34

二、平面的一般方程 35

三、平面的截距式方程 37

四、两平面的夹角 38

五、点到平面的距离 39

习题7-4 40

第五节 空间直线及其方程 41

一、空间直线的一般方程 41

二、空间直线的对称式方程与参数方程 41

三、两直线的夹角 44

四、直线与平面的夹角 45

五、杂例 46

习题7-5 49

数学实验七 51

第八章 多元函数微分学 53

第一节 多元函数的基本概念 53

一、平面点集及n维空间中的点集 53

二、多元函数概念 56

三、多元函数的极限 58

四、多元函数的连续性 60

习题8-1 62

第二节 偏导数 63

一、偏导数的定义及计算 63

二、高阶偏导数 66

习题8-2 68

第三节 全微分 70

一、全微分的定义及性质 70

二、全微分在近似计算中的应用 73

习题8-3 75

第四节 多元复合函数的求导法则 76

一、一个中间变量，多个自变量情形 76

二、多个中间变量，一个自变量情形 76

三、多个中间变量，多个自变量情形 77

习题8-4 83

第五节 隐函数的求导公式 85

一、一个方程的情形 85

二、方程组的情形 88

习题8-5 91

第六节 多元函数微分学的几何应用 93

一、空间曲线的切线与法平面 93

二、空间曲面的切平面与法线 95

习题8-6 99

第七节 方向导数与梯度 100

一、方向导数 100

二、梯度 102

习题8-7 103

第八节 多元函数的极值 104

一、多元函数的极大值和极小值 104

二、多元函数的最大值和最小值 107

三、条件极值和拉格朗日乘数法 109

习题8-8 113

第九节 二元函数的泰勒公式 114

一、二元函数的泰勒公式 114

二、二元函数极值充分条件的证明 117

习题8-9 118

数学实验八 118

第九章 重积分 121

第一节 二重积分的概念与性质 121

一、二重积分的概念 121

二、二重积分的性质 124

习题9-1 126

第二节 利用直角坐标计算二重积分 127

习题9-2 135

第三节 利用极坐标计算二重积分 136

一、二重积分的极坐标计算公式 136

二、极坐标下二重积分的计算法 137

习题9-3 141

第四节 三重积分及其在直角坐标系下的计算法 142

一、三重积分的定义 142

二、空间直角坐标系下三重积分的计算法 143

习题9-4 148

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 149

一、利用柱面坐标计算三重积分 149

二、利用球面坐标计算三重积分 153

习题9-5 157

第六节 重积分的应用 158

一、体积 158

二、引力 160

三、重心与质心 161

四、转动惯量 164

习题9-6 165

数学实验九 166

第十章 曲线积分与曲面积分 168

第一节 对弧长的曲线积分 168

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 168

二、对弧长的曲线积分的计算法 170

习题10-1 173

第二节 对坐标的曲线积分 174

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 174

二、对坐标的曲线积分的计算法 177

三、两类曲线积分之间的关系 180

习题10-2 181

第三节 格林公式及其应用 182

一、格林公式 182

二、平面上的曲线积分与路径无关的条件 188

三、二元函数的全微分求积 190

习题10-3 194

第四节 对面积的曲面积分 195

一、对面积的曲面积分的概念与性质 195

二、对面积的曲面积分的计算法 197

习题10-4 200

第五节 对坐标的曲面积分 202

一、有向曲面 202

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 203

三、对坐标的曲面积分的计算法 206

四、两类曲面积分之间的关系 209

习题10-5 211

第六节 高斯公式和斯托克斯公式 212

一、高斯公式 212

二、斯托克斯公式 216

三、空间曲线积分与路径无关的条件 219

习题10-6 221

第七节 场论初步 222

一、数量场与向量场 222

二、向量场的通量和散度 223

三、向量场的环流量与旋度 224

习题10-7 225

数学实验十 226

附录Ⅰ 数学建模实践 228

附录Ⅱ 积分应用一览表 237

部分习题答案 239

参考文献 250