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第1章 圣彼得堡数学学派的创建和发展 1

1.1 近代俄罗斯科学文化发展概述 1

1.1.1 俄罗斯数学先驱者 2

1.1.2 圣彼得堡科学院的建立 6

1.1.3 俄罗斯第一位本土院士 9

1.1.4 莫斯科大学的建立 11

1.1.5 俄罗斯挤进世界列强 11

1.1.6 圣彼得堡大学的建立 12

1.1.7 艰难的教育制度改革 14

1.2 圣彼得堡数学学派的应运而生 16

1.2.1 数学学派有关概念 16

1.2.2 欧拉科学思想的深刻影响 18

1.2.3 罗巴切夫斯基科学精神的激励 21

1.2.4 拉普拉斯概率思想的传播 24

1.2.5 切比雪夫的非凡影响力 27

1.3 圣彼得堡数学学派的学术风格 30

1.3.1 经典和基础相互发展 30

1.3.2 初等和高深相互推演 31

1.3.3 精确和近似相互转化 32

1.3.4 理论与实践相互结合 33

1.3.5 科研与教学相互促进 35

1.3.6 圣彼得堡数学学派的不足之处 36

1.4 圣彼得堡数学学派的内部争论 37

1.4.1 “无神论者”和“有神论者”的辩驳 38

1.4.2 “截尾术”和“特征函数法”的抗争 41

1.5 圣彼得堡数学学派的联袂对外 42

1.5.1 缘起：宗教信仰和学术研究 43

1.5.2 相对：哲学理念、教育观念和治学态度 45

1.5.3 交锋：中心极限定理的论证 51

第2章 圣彼得堡数学学派的元宿——奥斯特罗格拉茨基 57

2.1 从无神论者到机械唯物主义者 57

2.2 重振圣彼得堡科学院雄风 62

2.2.1 沟通三重积分与曲面积分 64

2.2.2 拓展傅里叶热传导理论 65

2.2.3 求解重积分极值问题 66

2.2.4 揭示微分方程的积分性质 67

2.2.5 研究有理函数积分 67

2.2.6 研究分析力学和理论力学 68

2.2.7 推进俄罗斯数学教育改革 69

2.3 芮夫考乌斯基和奥斯特罗格拉茨基 70

2.4 主观概率哲学和本能唯物主义 73

2.5 概率论与法律科学的联盟 75

2.6 概率论和产品抽样检验 77

2.7 概率论应用于社会福利问题 78

2.8 奥斯特罗格拉茨基和布尼亚科夫斯基 80

现代应用成果赏析 概率思想在刑事案件中的应用采撷 82

第3章 圣彼得堡数学学派的宿儒——布尼亚科夫斯基 86

3.1 从睿智少年到科学院副院长 86

3.2 构建俄文数学专业术语 89

3.3 数学概率观的发展 91

3.4 关于大数定理的研究 93

3.5 概率论应用于自然科学 94

3.6 概率论应用于社会科学 97

3.7 概率论应用于伦理科学 99

3.8 对概率论发展史的研究 101

附录 布尼亚科夫斯基的有关概率论文献目录 102

第4章 圣彼得堡数学学派的领袖——切比雪夫 103

4.1 从聪慧少年到学派领袖 103

4.1.1 善于思考的少年时代 104

4.1.2 崭露头角的求学时代 105

4.1.3 硕果累累的创新时代 107

4.2 追求数学真理 108

4.3 创建圣彼得堡数学学派 111

4.4 西方科学文化的影响 113

4.4.1 切比雪夫与法国数学家 114

4.4.2 切比雪夫和德国数学家 120

4.4.3 切比雪夫国际学术交流的分期 123

4.5 试论概率论基础 123

4.6 概率论基本定理的初等证明 127

4.7 初证中心极限定理 129

4.8 论均值 130

4.9 概率论的两个极限定理 132

4.10 其他科学研究 137

4.10.1 数论 137

4.10.2 代数函数积分 139

4.10.3 函数逼近理论 141

现代应用成果赏析 数学文化的力量 146

第5章 圣彼得堡数学学派的中坚——马尔可夫 154

5.1 从“叛逆少年”到数学大师 154

5.1.1 桀骜不驯求自由 155

5.1.2 风华正茂才华溢 156

5.1.3 三代概率论教师的比较 157

5.1.4 不惧强权伸正义 159

5.1.5 老马伏枥志千里 164

5.2 《概率演算》概要 165

5.2.1 马尔可夫和伯恩斯坦的概率著作比较 166

5.2.2 《概率演算》的主要框架 166

5.2.3 《概率演算》的主要特色 168

5.3 矩方法研究 171

5.4 完善切比雪夫定理 172

5.5 马尔可夫“截尾术” 175

5.6 拓广大数定理理论 177

5.7 型理论研究 178

5.8 创立马尔可夫链 180

5.9 马尔可夫链的语言学模型 183

5.10 马尔可夫链的渐近性 184

5.11 马尔可夫链的发展 186

5.11.1 Q过程理论的发展 186

5.11.2 轨道连续的马尔可夫过程 189

5.11.3 柯尔莫戈洛夫方程 191

5.11.4 强马尔可夫方程 192

5.11.5 其他主要研究方向 192

现代应用成果赏析 华罗庚和钟开莱的马尔可夫链情结 195

第6章 圣彼得堡数学学派的砥柱——李雅普诺夫 197

6.1 “切比雪夫问题”研究 197

6.1.1 颠沛流离启蒙路 198

6.1.2 转益多师是汝师 199

6.1.3 不畏浮云遮望眼 201

6.1.4 梅花香自苦寒来 204

6.1.5 在天愿作比翼鸟 207

6.2 创立特征函数方法 209

6.3 李雅普诺夫定理的论证 211

6.3.1 李雅普诺夫定理的提出 211

6.3.2 马尔可夫定理和李雅普诺夫定理的比较 212

6.3.3 李雅普诺夫定理的现代证明 212

6.4 李雅普诺夫定理的拓广 214

6.4.1 林德伯格条件 214

6.4.2 费勒条件 215

6.5 李雅普诺夫定理的引申 216

6.5.1 克拉美的渐近展开 217

6.5.2 贝莱的改进结果 218

现代应用成果赏析《红楼梦》与概率论 220

第7章 圣彼得堡数学学派的新秀——伯恩斯坦 224

7.1 “希尔伯特问题”研究 224

7.2 圣彼得堡数学学派主要成员学缘关系比较 226

7.3 第一个概率论公理化体系 227

7.4 协方差大数定理 232

7.5 中心极限定理的充要条件 233

7.6 伯恩斯坦概率观 235

7.7 圣彼得堡数学学派的主要构建因素 236

现代应用成果赏析 圣彼得堡“数学鬼才” 240

第8章 圣彼得堡数学学派的统计思想研究 244

8.1 关于社会学统计的研究 245

8.1.1 布尼亚科夫斯基的研究 245

8.1.2 马尔可夫的研究 249

8.2 关于数学观察理论的研究 252

8.2.1 切比雪夫的极小极大方法 252

8.2.2 马尔可夫的统计思想 253

8.3 切比雪夫最小二乘法插值理论 260

8.3.1 切比雪夫正交多项式 260

8.3.2 最小二乘法插值 265

8.3.3 对等距变量正交多项式的求解 269

现代应用成果赏析 统计学的产生和发展 274

参考文献 279