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第一章 集类与测度 1

1.1　集类与单调类定理 2

1.1.1　半集代数 2

1.1.2　集代数 3

1.1.3 σ代数 4

1.1.4　单调类定理 5

1.1.5　乘积空间与乘积σ代数 8

1.2　集函数与测度 9

1.2.1　集函数 9

1.2.2　测度空间 13

1.3　测度扩张定理及测度的完全化 15

1.3.1　半集代数上的测度扩张为最小集代数上的测度 15

1.3.2　半集代数、集代数上的测度扩张为最小σ代数上的测度 16

1.3.3　测度的完全化 19

1.4　补充与习题 22

第二章 随机变量与可测函数 27

2.1　可测函数 28

2.1.1　基本概念及性质 28

2.1.2　可测函数的构造 30

2.1.3 可测函数的运算 31

2.1.4　函数形式的单调类定理 33

2.2　分布函数与分布律 35

2.3　独立随机变量 38

2.4　可测函数序列的收敛 41

2.4.1　几乎处处收敛 41

2.4.2　依测度收敛 42

2.4.3　依分布律收敛 45

2.5　补充与习题 46

第三章 数学期望与积分 49

3.1　积分的定义和性质 50

3.1.1　积分的定义 50

3.1.2　积分的性质 51

3.2　收敛定理 53

3.3　数学期望 57

3.3.1　数字特征 57

3.3.2　L-S积分表示 59

3.4　r次平均与Lr空间 61

3.4.1　几个重要不等式 61

3.4.2　Lr空间 63

3.4.3 与各种收敛性之间的关系 64

3.5　σ可加集函数的分解 66

3.5.1 σ可加集函数的分解定理 66

3.5.2　不定积分与Lebesgue分解定理 68

3.5.3　分布函数的分解定理 71

3.6　补充与习题 72

第四章 乘积测度空间 77

4.1　Fubini定理 78

4.2　无穷乘积概率空间 81

4.3　转移测度与转移概率 85

4.4　补充与习题 88

第五章 条件概率与条件期望 91

5.1　给定σ代数下的条件期望 92

5.2　给定函数下的条件期望 96

5.3　正则条件概率 97

5.3.1　正则条件概率的性质 97

5.3.2　条件分布 97

5.3.3　存在性 98

5.4　Kolmogorov和谐定理 101

5.5　补充与习题 103

第六章 特征函数与测度弱收敛 107

6.1　有限测度的特征函数 108

6.1.1　定义与性质 108

6.1.2　逆转公式与唯一性定理 109

6.2　测度的弱收敛 112

6.2.1　定义与等价定义 112

6.2.2　胎紧性与弱紧性 115

6.3　特征函数与弱收敛 120

6.4　特征函数与非负定性 123

6.5　补充与习题 126

第七章 概率距离 129

7.1　弱拓扑的度量化 130

7.2　全变差距离与Wasserstein耦合 132

7.3　Wasserstein距离 134

7.3.1　最优运输与Wasserstein距离 134

7.3.2　最优耦合与对偶公式 135

7.3.3　（？p（E），Wρ p）空间 136

7.4　补充与习题 141

参考文献 143

索引 145