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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 预备知识 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的基本性质 4

1.1.4 反函数 6

1.1.5 初等函数 8

1.1.6 建立函数关系式举例 12

习题1.1 15

1.2 极限的概念 17

1.2.1 序列极限的概念 17

1.2.2 函数的极限 19

习题1.2 23

1.3 极限运算法则与两个重要极限 24

1.3.1 极限的四则运算 24

1.3.2 两个重要极限 26

习题1.3 29

1.4 无穷小与无穷大 30

1.4.1 无穷小 30

1.4.2 无穷大 31

1.4.3 无穷小的比较 33

习题1.4 35

1.5 函数的连续性 36

1.5.1 函数连续的概念 36

1.5.2 函数的间断点 40

1.5.3 初等函数的连续性 42

1.5.4 闭区间上连续函数的性质 44

习题1.5 45

综合练习1 47

第2章 导数与微分 50

2.1 导数的概念 50

2.1.1 引入导数概念的实例 50

2.1.2 导数的定义 51

2.1.3 导数的几何意义 53

2.1.4 单侧导数 53

2.1.5 可导与连续的关系 54

习题2.1 55

2.2 求导法则 56

2.2.1 函数的和、差、积、商的导数 56

2.2.2 反函数的导数 58

2.2.3 复合函数的导数 59

2.2.4 基本初等函数的导数公式 61

习题2.2 61

2.3 高阶导数 62

习题2.3 66

2.4 隐函数的导数及参数方程求导 66

2.4.1 隐函数的求导 66

2.4.2 对数求导法 68

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 70

2.4.4 相关变化率 72

习题2.4 72

2.5 函数的微分 73

2.5.1 微分的定义 73

2.5.2 可微的条件 74

2.5.3 微分公式及运算法则 75

2.5.4 微分的应用 77

习题2.5 79

2.6 导数在经济分析中的应用 79

2.6.1 边际分析 79

2.6.2 弹性分析 82

习题2.6 84

综合练习2 86

第3章 微分中值定理与导数应用 89

3.1 微分中值定理 89

3.1.1 罗尔定理 89

3.1.2 拉格朗日中值定理 91

3.1.3 柯西中值定理 94

习题3.1 95

3.2 洛必达法则 96

3.2.1 0/0型与∞/∞型未定式 96

3.2.2 其他类型的未定式 100

习题3.2 102

3.3 泰勒公式 102

习题3.3 108

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 109

3.4.1 函数单调性的判别方法 109

3.4.2 曲线的凹凸性 111

习题3.4 115

3.5 函数的极值、最大值和最小值 116

3.5.1 函数的极值 116

3.5.2 函数的最大值与最小值 121

习题3.5 123

3.6 函数图形的描绘 123

3.6.1 曲线的渐近线 123

3.6.2 函数图形的描绘 125

习题3.6 127

3.7 曲率 127

3.7.1 弧微分 127

3.7.2 曲率及其计算公式 128

3.7.3 曲率圆与曲率半径 131

习题3.7 132

综合练习3 134

第4章 不定积分 137

4.1 原函数与不定积分 137

4.1.1 原函数的概念与原函数的存在性 137

4.1.2 定积分及其性质 138

4.1.3 基本积分公式 141

习题4.1 144

4.2 基本积分法 145

4.2.1 换元积分法 145

4.2.2 分部积分法 155

习题4.2 161

4.3 常见题型归纳 163

综合练习4 175

第5章 定积分 180

5.1 定积分的概念 180

5.1.1 两个实例 180

5.1.2 定积分的定义 182

习题5.1 184

5.2 定积分的性质 184

习题5.2 188

5.3 微积分基本公式 188

5.3.1 积分上限函数及其导数 188

5.3.2 牛顿—莱布尼兹公式 190

习题5.3 193

5.4 定积分的换元法 194

习题5.4 197

5.5 定积分的分部积分法 198

习题5.5 200

5.6 广义积分 200

5.6.1 积分区间为无限 200

5.6.2 被积函数有无穷型间断点 202

习题5.6 204

综合练习5 206

第6章 定积分的应用 208

6.1 建立积分表达式的微元素法 208

6.2 定积分在几何中的应用 210

6.2.1 平面图形的面积 210

6.2.2 体积 214

6.2.3 平面曲线的弧长 218

习题6.2 221

6.3 定积分在物理学上的应用 222

习题6.3 226

6.4 定积分在经济学中的应用 227

习题6.4 233

综合练习6 234

第7章 微分方程 235

7.1 微分方程的基本概念 235

习题7.1 237

7.2 一阶微分方程 238

7.2.1 可分离变量的微分方程 238

7.2.2 齐次微分方程 239

7.2.3 可化为齐次方程的微分方程 241

7.2.4 一阶线性微分方程 243

习题7.2 245

7.3 可降阶的高阶微分方程 246

7.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 246

7.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 247

7.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 247

习题7.3 248

7.4 高阶线性微分方程 249

7.4.1 高阶线性微分方程解的结构 249

7.4.2 n阶常系数线性齐次微分方程 250

7.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程 252

习题7.4 257

综合练习7 259

附录Ⅰ 希腊字母及常用数学公式 261

附录Ⅱ 几种常用的曲线方程及图形 266

参考答案 269

参考文献 284