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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

一、集合与区间 1

二、函数概念 3

三、函数的几种特性 7

四、反函数 9

五、复合函数、初等函数 10

习题1-1 12

1.2 数列的极限 13

一、数列极限的定义 13

二、数列极限的性质 19

习题1-2 20

1.3 函数的极限 21

一、自变量趋于有限值时函数的极限 21

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 24

三、函数极限的性质 26

习题1-3 27

1.4 无穷小与无穷大 27

一、无穷小 28

二、无穷大 30

三、无穷小的比较 32

习题1-4 34

1.5 极限运算法则 35

习题1-5 40

1.6 极限存在准则 两个重要极限 41

一、夹逼准则 41

二、单调有界收敛准则 44

习题1-6 49

1.7 函数的连续性与间断点 50

一、函数的连续性 50

二、函数的间断点 54

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 56

习题1-7 58

1.8 闭区间上连续函数的性质 59

一、最值与有界性定理 59

二、零点定理与介值定理 60

习题1-8 62

总习题1 62

第2章 导数与微分 65

2.1 导数概念 65

一、引例及定义 65

二、求导数举例 68

三、导数的几何意义 71

四、可导性与连续性之间的关系 71

习题2-1 72

2.2 求导法则 73

一、四则求导法则 74

二、反函数求导法则 76

三、复合函数求导法则 78

四、基本求导公式 80

习题2-2 81

2.3 高阶导数 82

习题2-3 84

2.4 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 85

一、隐函数的导数 85

二、由参数方程所确定的函数的导数 89

三、相关变化率 91

习题2-4 92

2.5 函数的微分 93

一、微分的概念 93

二、微分公式与微分法则 96

三、微分在近似计算中的应用 98

习题2-5 100

总习题2 101

第3章 微分中值定理与导数的应用 102

3.1 微分中值定理 102

一、罗尔中值定理 102

二、拉格朗日中值定理 105

三、柯西中值定理 107

习题3-1 109

3.2 洛必达法则 109

习题3-2 115

3.3 泰勒公式 116

习题3-3 119

3.4 函数的单调性 119

习题3-4 122

3.5 函数的极值与最值 123

一、函数的极值 123

二、最大值、最小值问题 127

习题3-5 129

3.6 曲线的凹凸性 函数图形的描绘 131

一、曲线的凹凸性及拐点 131

二、函数图形的描绘 134

习题3-6 139

3.7 曲率 139

一、弧微分 139

二、曲率 140

三、曲率圆与曲率半径 143

习题3-7 144

总习题3 145

第4章 不定积分 147

4.1 不定积分的概念与性质 147

一、原函数与不定积分 147

二、基本积分公式 150

三、不定积分的性质 151

四、直接积分法 151

习题4-1 152

4.2 换元积分法 153

一、第一类换元法 154

二、第二类换元法 159

习题4-2 163

4.3 分部积分法 165

习题4-3 169

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 169

一、有理函数的积分 169

二、三角函数有理式的积分 173

三、简单无理函数的积分 174

四、积分表的使用 175

习题4-4 177

总习题4 177

第5章 定积分及其应用 179

5.1 定积分的概念与性质 179

一、定积分问题举例 179

二、定积分定义 181

三、定积分的性质 183

习题5-1 186

5.2 微积分基本公式 187

一、积分上限的函数及其导数 187

二、牛顿-莱布尼茨公式 189

习题5-2 193

5.3 定积分的换元法与分部积分法 194

一、定积分的换元法 194

二、定积分的分部积分法 197

习题5-3 200

5.4 反常积分 201

一、无穷限的反常积分 201

二、无界函数的反常积分 203

习题5-4 206

5.5 定积分的元素法 平面图形的面积 206

一、定积分的元素法 206

二、平面图形的面积 208

习题5-5 213

5.6 体积与弧长 214

一、立体的体积 214

二、平面曲线的弧长 217

习题5-6 219

5.7 定积分在物理上的应用 220

一、变力沿直线所做的功 220

二、水压力 223

三、引力 223

习题5-7 224

总习题5 225

第6章 常微分方程 227

6.1 微分方程的基本概念 227

习题6-1 229

6.2 可分离变量的微分方程 229

习题6-2 234

6.3 齐次方程 234

习题6-3 238

6.4 一阶线性微分方程 239

习题6-4 243

6.5 可降阶的高阶微分方程 243

一、y(n)=f（x）型的微分方程 243

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 244

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 246

习题6-5 247

6.6 二阶线性微分方程 248

一、二阶线性微分方程解的结构 248

二、二阶常系数齐次线性微分方程 250

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 253

习题6-6 257

总习题6 257

附录A 基本初等函数的图形及其主要性质 260

附录B 几种常用的曲线 263

附录C 积分表 266

附 习题答案与提示 275