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第1章 矩阵及其运算 1

1.1　矩阵的概念 2

1.1.1 矩阵的引入 2

1.1.2　矩阵的概念 4

1.1.3　几种重要的特殊矩阵 5

习题1.1 7

1.2　矩阵的基本运算 7

1.2.1　矩阵线性运算 8

1.2.2　矩阵乘法 9

1.2.3　方阵的幂与矩阵多项式 12

1.2.4　矩阵的转置 15

习题1.2 17

1.3　方阵的行列式 19

1.3.1　行列式的定义 20

1.3.2　行列式的性质 28

1.3.3　行列式的计算 33

习题1.3 38

1.4　方阵的逆矩阵 39

1.4.1　逆矩阵概念 39

1.4.2　逆矩阵性质 40

1.4.3 逆矩阵运算性质 41

1.4.4　有关逆矩阵的专题讨论 43

习题1.4 51

1.5　分块矩阵 52

1.5.1　分块矩阵的概念 52

1.5.2　分块矩阵的运算 52

1.5.3　常用分块方法与分块对角阵 54

习题1.5 58

1.6　矩阵的初等变换与初等矩阵 60

1.6.1　矩阵的初等变换 60

1.6.2　初等矩阵 64

1.6.3　初等变换的应用 67

习题1.6 70

1.7　矩阵的秩 72

1.7.1　矩阵秩的概念 72

1.7.2　矩阵秩的基本性质 76

习题1.7 77

1.8　基础复习题 77

1.9　综合应用题 80

第2章　线性方程组与向量组 85

2.1　线性方程组求解问题 86

2.1.1　线性方程组的一般概念 86

2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性 87

2.1.3　线性方程组解的性质与解的结构 99

习题2.1 104

2.2　向量的线性组合与线性表示 106

2.2.1 向量、向量组的概念 106

2.2.2 向量的线性组合与线性表示 108

2.2.3 向量组间向量的线性表示 110

习题2.2 113

2.3 向量的线性相关与线性无关 114

习题2.3 120

2.4　向量组的秩 121

2.4.1 几个问题的深入思考 121

2.4.2 向量组秩的概念及性质 124

2.4.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系 126

习题2.4 129

2.5　向量空间 131

2.5.1 向量空间的一般概念 131

2.5.2 向量空间的基、维数、向量的坐标 132

2.5.3　赋予了内积的向量空间 135

习题2.5 141

2.6　线性空间简介 142

2.7　基础复习题 146

2.8　综合应用题 148

第3章　相似矩阵与二次型 153

3.1　线性变换初步 154

习题3.1 160

3.2　方阵的特征值和特征向量 160

3.2.1　特征值和特征向量的概念 161

3.2.2　特征值和特征向量的性质 165

习题3.2 168

3.3　矩阵的相似、合同与方阵的对角化 169

3.3.1 相似矩阵及其性质 169

3.3.2　方阵对角化的条件 170

3.3.3 实对称阵对角化的条件 172

习题3.3 179

3.4　二次型及其标准形 180

3.4.1　二次型的概念 180

3.4.2　二次型化标准形问题 182

习题3.4 188

3.5　二次型的若干基本概念和理论 189

3.5.1　二次型惯性定理 189

3.5.2　二次型的正定性 190

习题3.5 193

3.6 二次型理论的简单应用 194

3.6.1 正交变换在解析几何中的应用 194

3.6.2 正定性在多元函数极值中的应用 198

3.7　基础复习题 200

3.8　综合应用题 203

习题答案与提示 207

参考文献 224