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第1章 数学基础 1

1.1一些概念 1

1.2矩阵的几种标准分解 2

1.2.1Jordan分解 2

1.2.2Schur分解 5

1.2.3奇异值分解 10

1.3向量和矩阵的范数 15

1.4和Hermite矩阵的特征值相关的几个结论 20

1.5正交投影、子空间之间的距离和不变子空间 22

1.6Poisson问题 25

1.7并行计算简介 27

1.8矩阵相乘的算法复杂度 30

1.9和矩阵有关的几个概念 31

习题 32

第2章 正交化、最小二乘问题和正交相似变换 37

2.1两种常用的正交变换工具 37

2.1.1Householder变换 37

2.1.2Givens变换 42

2.2QR分解 43

2.3最小二乘问题 51

2.3.1最小二乘问题的性质 51

2.3.2满秩的最小二乘解问题 54

2.3.3秩亏的最小二乘解问题 55

2.4线性无关向量组和Krylov子空间的正交化 57

2.4.1线性无关向量组的Gram-Schmidt正交化 58

2.4.2线性无关向量组的Householder正交化 60

2.4.3Krylov子空间的正交化 63

2.5正交相似变换 69

习题 76

第3章 线性方程组的直接法 79

3.1引言 79

3.2Gauss消去法 79

3.2.1不选主元的Gauss消去法 80

3.2.2完全主元Gauss消去法 87

3.2.3程序的实现 90

3.2.4列主元Gauss消去法 95

3.3直接三角分解 101

3.3.1不选主元的三角分解 101

3.3.2选主元的三角分解 102

3.4特殊矩阵的三角分解 105

3.4.1对称矩阵的三角分解 105

3.4.2带状矩阵的三角分解 109

3.4.3追赶法 114

3.5矩阵的条件数 118

3.5.1矩阵的条件数引出 118

3.5.2迭代的改进 121

3.5.3矩阵的条件数的估算 122

3.6误差分析 125

3.6.1列主元消去法的舍入误差分析 125

3.7不完全三角分解 132

3.8大型稀疏矩阵的分解 138

3.8.1稀疏矩阵的存储格式 138

3.8.2解稀疏方程组的直接法 140

3.8.3大型稀疏对称正定矩阵的三角分解 142

3.8.4稀疏矩阵的QR分解 159

3.8.5稀疏对称正定矩阵的Cholesky分解的并行实现 168

习题 170

第4章 线性方程组的迭代法 177

4.1一般迭代法 177

4.2Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代和SSOR迭代 180

4.3迭代法的收敛性 184

4.4加速方法 188

4.4.1外推方法 188

4.4.2Chebyshev加速方法 189

4.5预处理的共轭梯度方法 194

4.6多重网格方法 198

4.6.1方法的引出 198

4.6.2几何多重网格 201

4.6.3代数多重网格 206

4.7现代迭代法 215

4.7.1FOM方法 215

4.7.2GMRES方法 220

4.7.3Lanczos方法 223

4.7.4BICG，CGS和BICGSTAB迭代法 227

4.7.5迭代法的比较 233

4.8迭代法的并行实现 235

4.8.1预处理的并行实现 235

4.8.2计算和通信重叠的CG算法 237

4.8.3并行的GMRES（m）算法 239

习题 239

第5章 矩阵特征值问题的数值计算 244

5.1特征值问题中的一些结论 244

5.2幂法及反幂法 247

5.2.1幂法 248

5.2.2反幂法 252

5.2.3收缩方法 253

5.3Jacobi方法 255

5.4QR算法 259

5.4.1QR算法及收敛性 259

5.4.2QR算法的实现 268

5.4.3QR算法的并行实现 274

5.5对称矩阵的特征值计算 275

5.6奇异值分解的计算 279

5.7对称三对角矩阵的特征值计算 285

5.7.1分而治之方法 285

5.7.2对分法 290

5.7.3QL方法 292

5.8Lanczos方法求解大型稀疏对称矩阵的特征值 296

5.9大型稀疏矩阵的特征值计算 300

5.9.1子空间迭代 300

5.9.2Rayleigh-Ritz投影方法 303

5.9.3Arnoldi迭代 307

5.9.4Jacobi-Davidson方法 312

习题 317

部分习题解答 321

参考文献 348