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第一章 典型方程的推导和定解条件 1

1.1 热传导方程及其定解条件、位势方程 1

1.2 波动方程 7

1.3 举例 12

习题一 17

习题一解答 21

第二章 分离变量法 26

2.1 含有线性齐次方程、齐次边界条件或周期性条件的定解问题 27

2.2 含有线性非齐次方程、齐次边界条件或周期性条件的定解问题 53

2.3 无周期性条件的情况下非齐次边界条件的处理 61

2.4 例题 71

习题二 78

习题二解答 90

第三章 积分变换法、视察法与保角变换法 127

3.1 引言 127

3.2 付里叶变换 130

3.3 付氏变换的性质 133

3.4 集中力、δ函数及其付氏变换 138

3.5 付氏变换的应用 141

3.6 拉普拉斯变换 149

3.7 展开定理 168

3.8 视察法与保角变换法 175

习题三 181

习题三解答 185

第四章 几个特殊类型的常微分方程的固有值问题 193

4.1 贝塞尔方程的引出 193

4.2 勒让德方程的引出 196

4.3 施特姆——刘维尔型的固有值问题 198

4.4 二阶线性常微分方程级数解法的有关定理 206

习题四 209

习题四解答 211

第五章 贝塞尔函数 215

5.1 Γ函数 215

5.2 贝塞尔方程求解 218

5.3 贝塞尔函数的递推公式 226

5.4 贝塞尔函数的零点 229

5.5 有关贝塞尔方程的固有值问题 230

5.6 应用举例 234

5.7 贝塞尔函数的母函数及积分表达式 239

5.8 贝塞尔函数的渐近公式 242

习题五 246

习题五解答 253

第六章 勒让德多项式 269

6.1 级数发散的一个判别法 269

6.2 有关勒让德方程的固有值问题 270

6.3 勒让德多项式 276

6.4 函数展开为勒让德多项式的级数 280

6.5 有关连带勒让德方程的固有值问题 281

6.6 应用举例 285

6.7 勒让德多项式的母函数与递推公式 289

习题六 291

习题六解答 293

第七章 用积分法解数学物理方程 305

7.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 305

7.2 无界弦的强迫振动 311

7.3 积分公式 313

7.4 拉普拉斯方程的球对称的解 319

7.5 三维波动方程的泊松公式 320

7.6 位势方程解的积分表达式 328

习题七 339

习题七解答 343

第八章 数学物理方程的差分解法 351

8.1 引言 351

8.2 导数的近似表达式 352

8.3 拉普拉斯方程的近似解法 354

8.4 热传导方程的差分格式 358

习题八 360

习题八解答 361

第九章 变分法及其应用 364

9.1 引言 364

9.2 最简单的泛函的极值 367

9.3 依赖于两个函数的泛函极值 377

9.4 依赖于较高阶导数的泛函极值 380

9.5 依赖于二元函数的泛函极值 383

9.6 泛函的条件极值问题 386

9.7 变分方法——里兹法与有限单元法 392

习题九 402

习题九解答 406