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1 曲线坐标系 1

1.1　斜角直线坐标系 2

1.2 曲线坐标系的基矢量 5

1.3　坐标变换与基变换 7

1.4　张量（tansor） 13

1.5　张量的实体表示 14

1.6　度量张量 15

1.7　矢量的叉积、混合积和置换张量 19

1.8　Ricci符号和行列式 26

1.9　张量的代数运算 29

1.10　例题 34

习题一 37

2　张量场论 40

2.1 引言 40

2.2 克里斯托夫（Christoffel）符号 41

2.3　协变导数 45

2.4　张量对坐标的导数，张量的梯度 50

2.5　散度和旋度 55

2.6　高阶导数和拉普拉斯算子 60

2.7　正交曲线坐标系 63

2.8　积分定理 66

2.9　无量纲自然基标架和物理分量 71

2.10　正交曲线坐标系下的物理分量 73

2.11　例题 75

习题二 78

3　二阶张量 80

3.1 映射量 80

3.2　正则与蜕化 82

3.3　特征方向和不变量 85

3.4 Cayley-Hamilton定理 88

3.5　几种特殊的映射量 89

3.6　对称映射量的特征方向 98

3.7　对称映射量的主值和主方向 100

3.8　映射量的分解 103

习题三 105

4 曲面几何 107

4.1 曲面上的高斯（Gauss）坐标 107

4.2 曲面的第一基本（二次）型 109

4.3 曲面的第二基本（二次）型 110

4.4 曲面上的单位法向矢量与基矢量的导数 114

4.5 曲面上的协变导数 117

4.6　柯达兹（Codazzi）公式 121

4.7　高斯公式　黎曼-克里斯托夫张量 122

习题四 124

5　笛卡儿张量 126

5.1　关于笛卡儿张量 126

5.2　标准正交基 127

5.3　二阶张量的矩阵表达 130

5.4　二阶张量的特征值，特征方向和不变量 133

5.5　二阶对称张量的性质 135

5.6　二阶反对称张量的性质 137

习题五 139

习题答案 141

参考文献 147