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第1章 线性方程组和矩阵基础 1

1.1 线性方程组 1

1.2 高斯消元法和初等变换 4

1.2.1 高斯消元法简介 4

1.2.2 线性方程组的初等变换 4

1.2.3 习题 7

1.3 齐次线性方程组 8

1.3.1 齐次线性方程组的定义 8

1.3.2 齐次线性方程组的性质 11

1.3.3 习题 11

1.4 矩阵简介 12

1.4.1 矩阵的定义 13

1.4.2 常用的特殊矩阵 14

1.4.3 习题 15

1.5 矩阵的行变换初步 16

1.5.1 行阶梯矩阵 16

1.5.2 习题 19

小结 19

练习一 19

第2章 行列式 21

2.1 行列式的概念 21

2.1.1 定义 23

2.1.2 行列式的首列展开 26

2.1.3 习题 28

2.2 行列式的性质 29

2.2.1 行列式的基本性质 29

2.2.2 行列式性质的列表示 32

2.2.3 习题 36

2.3.1 n阶排列 37

2.3 行列式的完全展开 37

2.3.2 行列式的完全展开式 40

2.3.3 习题 47

2.4 行列式的计算 48

2.5 Cramer法则 55

2.5.1 Cramer法则的应用 55

2.5.2 习题 59

小结 60

练习二 60

3.1.1 矩阵加法的定义 62

3.1.2 矩阵加法的性质 62

3.1 矩阵的加法与数量乘法 62

第3章 矩阵的基本运算 62

3.1.3 矩阵的减法 63

3.1.4 矩阵的数量乘法 63

3.1.5 习题 64

3.2 矩阵的乘法及其性质 64

3.2.1 矩阵乘法的定义 64

3.2.2 矩阵乘法的性质 66

3.2.3 习题 68

3.3 矩阵的转置与对称矩阵 68

3.3.1 矩阵转置 68

3.3.2 对称矩阵 70

3.3.3 反对称矩阵及其性质 70

3.3.4 特殊矩阵简介 71

小结 72

3.3.5 习题 72

练习三 73

第4章 可逆矩阵 75

4.1 可逆矩阵及其性质 75

4.1.1 逆矩阵的定义 75

4.1.2 逆矩阵的性质 76

4.1.3 习题 80

4.2 分块矩阵 81

4.2.1 矩阵的分块 81

4.2.2 分块矩阵的运算 82

4.2.3 习题 89

4.3 初等矩阵与初等变换求逆矩阵 90

4.3.1 初等矩阵 90

4.3.2 初等矩阵与矩阵乘法 92

4.3.3 初等变换求逆矩阵 94

小结 97

练习四 97

第5章 线性空间 98

5.1 数域 98

5.1.1 数域的定义 98

5.1.2 数域的相关性质 99

5.1.3 习题 100

5.2 n维向量及其运算 100

5.2.1 n维向量的定义 101

5.2.2 n维向量的运算 102

5.2.3 n维向量的线性组合 104

5.2.4 习题 104

5.3.1 线性空间的定义 105

5.3 线性空间及其性质 105

5.3.2 线性空间的性质 106

5.4 向量线性相关与线性无关性 107

5.4.1 线性相关与线性无关性 108

5.4.2 线性相关与线性无关的性质 109

5.4.3 习题 113

5.5 基、维数与秩 113

5.5.1 线性空间的基 114

5.5.2 秩与维数 116

5.5.3 空间的同构 117

5.5.4 习题 120

5.6 向量坐标与基变换 120

5.6.1 向量坐标 120

5.6.2 不同基下的向量坐标关系 124

5.6.3 习题 129

5.7 子空间 129

5.7.1 子空间的定义 129

5.7.2 子空间的性质 131

5.7.3 子空间的维数性质 132

5.7.4 直和 134

5.7.5 习题 139

5.8 矩阵的秩 139

5.8.1 矩阵的秩的定义 139

5.8.2 矩阵的秩的计算 140

5.8.3 矩阵的秩的性质 143

5.8.4 习题 147

练习五 148

小结 148

第6章 线性映射与线性变换 150

6.1 线性映射与线性变换的概念 150

6.1.1 线性映射和线性变换的定义 150

6.1.2 习题 154

6.2 线性映射 155

6.2.1 线性映射的性质 155

6.2.2 像的定义 156

6.2.3 像的性质 156

6.2.4 核的定义 157

6.2.5 核的性质 157

6.2.6 特殊线性映射的定义 157

6.2.7 习题 159

6.3 线性变换的矩阵 159

6.3.1 线性变换矩阵的概念及性质 160

6.3.2 线性变换在不同基下矩阵的关系 164

6.3.3 习题 166

小结 167

练习六 167

第7章 矩阵的特征问题 169

7.1 特征值与特征向量 169

7.1.1 特征问题的有关定义 169

7.1.2 特征值和特征向量的性质 172

7.1.3 习题 176

7.2 相似矩阵 176

7.2.1 相似矩阵的定义 176

7.2.2 相似矩阵的性质 177

7.3.1 矩阵可相似对角化的条件 179

7.3 相似对角化矩阵 179

7.2.3 习题 179

7.3.2 习题 185

7.4 正交矩阵和矩阵的正交化方法 185

7.4.1 正交向量组 185

7.4.2 正交矩阵 189

7.4.3 习题 192

7.5 实对称矩阵的相似对角化 193

7.5.1 实对称矩阵的性质 193

7.5.2 实对称矩阵的对角化过程 196

7.5.3 习题 199

小结 200

练习七 200

8.1.1 二次型的定义 202

8.1.2 二次型的矩阵表示 202

8.1 二次型及其矩阵表示 202

第8章 二次型 202

8.1.3 二次型的满秩线性变换 206

8.1.4 习题 206

8.2 化二次型为标准形 207

8.2.1 二次型可标准化的必然性 207

8.2.2 二次型标准化的方法 207

8.2.3 习题 215

8.3 惯性定理和二次型的规范形 215

8.3.1 惯性定理 215

8.3.2 二次型的规范形 215

8.3.3 习题 216

8.4.3 正定二次型的等价判定 217

8.4.2 正定二次型、正定矩阵的基本性质 217

8.4 正定二次型和正定矩阵 217

8.4.1 正定二次型、正定矩阵的定义 217

8.4.4 习题 221

8.5 其他二次型 222

8.5.1 其他二次型的定义及其等价判定 222

8.5.2 习题 224

小结 224

练习八 225

第9章 欧氏空间 226

9.1 欧氏空间的概念 226

9.1.1 内积及欧氏空间的定义 226

9.1.2 内积的基本性质 226

9.1.3 长度和交角的定义及其相关性质 228

9.1.4 习题 230

9.2 标准正交基 231

9.2.1 度量矩阵 231

9.2.2 标准正交基的定义 232

9.2.3 标准正交基的性质 233

9.2.4 习题 235

9.3 正交变换 235

9.3.1 正交变换的定义 235

9.3.2 正交变换的性质 236

9.3.3 欧氏空间的同构 238

9.3.4 习题 239

小结 239

练习九 239

一、填空题 242

第10章 综合测试题 242

综合测试题一 242

二、选择题 243

三、综合题 246

综合测试题二 248

一、填空题 248

二、选择题 250

三、综合题 252

综合测试题三 254

一、填空题 254

二、选择题 254

三、综合题 255

一、填空题 256

综合测试题四 256

二、选择题 257

三、综合题 258

综合测试题五 260

一、填空题 260

二、选择题 261

三、综合题 262

综合测试题六 264

一、填空题 264

二、选择题 265

三、综合题 266

小结 267

参考文献 268