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目录 1

第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　常量、变量与数集 1

1.1.2　函数概念 3

1.1.3　函数的几种特性 6

1.1.4　反函数 8

1.2　初等函数 9

1.2.1　常值函数 10

1.2.2　幂函数 10

1.2.3　指数函数与对数函数 11

1.2.4 三角函数 13

1.2.5　反三角函数 14

1.2.6　复合函数与初等函数 15

1.3　建立函数关系实例 17

1.4　极限 20

1.4.1　数列的极限 20

1.4.2　函数的极限 22

1.4.3　函数的连续性 25

1.4.4　两个重要极限 29

1.4.5　无穷小量与无穷大量 34

1.5　本章小结 37

习题 38

第2章　导数与微分 41

2.1　导数的概念 41

2.1.1　实例 41

2.1.2　导数的定义 43

2.1.3　导数的几何意义 45

2.1.4　可导与连续的关系 47

2.2　求导方法 48

2.2.1　按定义求导数 48

2.2.2　导数的四则运算法则 50

2.2.3　复合函数的求导法则 51

2.2.4　隐函数求导法 52

2.2.5　基本初等函数的导数公式 54

2.2.6　参数方程确定的函数的导数 54

2.2.7　求导例题 57

2.3　高阶导数 59

2.4　微分及其应用 60

2.4.1　微分的定义 60

2.4.2　微分的几何意义 63

2.4.3　基本初等函数的微分公式与微分运算法则 63

2.4.4　微分在近似计算中的应用 64

2.4.5　利用微分估计误差 66

2.5　本章小结 67

习题 68

第3章　导数的应用 70

3.1 函数的单调性与极值 70

3.1.1 中值定理 70

3.1.2　函数的单调性 71

3.1.3　函数的极值 72

3.2　函数的最值 75

3.3 曲线的凹凸性与拐点 79

3.4　曲率 80

3.4.1　弧长的微分 81

3.4.2　曲率及其计算公式 81

3.4.3　曲率圆与曲率半径 83

3.5　本章小结 85

习题 86

第4章　不定积分与定积分 88

4.1　不定积分的概念与性质 88

4.1.1　原函数与不定积分的概念 88

4.1.2　不定积分的几何意义 90

4.1.3　基本积分公式 91

4.1.4　不定积分的线性运算法则 92

4.2　变量代换法 93

4.2.1　第一类变量代换法 93

4.2.2　第二类变量代换法 96

4.3　分部积分法 97

4.4　定积分的概念 100

4.4.1 实例 100

4.4.2　定积分的定义 101

4.4.3　定积分的几何意义 103

4.5　定积分的性质 103

4.6　微积分基本公式 104

4.7　定积分的变量代换法 108

4.8　定积分的分部积分法 110

4.9 义积分 111

4.9.1　无穷区间的广义积分 111

4.9.2　无界函数的广义积分 113

4.10　本章小结 114

习题 115

第5章　定积分的应用 117

5.1　定积分的微元法 117

5.2　定积分的几何应用 118

5.2.1　平面图形的面积 118

5.2.2　体积 123

5.2.3　平面曲线的弧长 126

5.3　定积分的物理应用 127

5.3.1　直线运动中变力做的功 127

5.3.2　分布载荷的力矩 128

5.3.3　转动惯量 129

5.3.4　平面图形的形心和惯性矩 131

5.3.5　平均值 134

5.4　本章小结 136

习题 136

第6章　常微分方程及其应用 138

6.1　微分方程的基本概念 138

6.1.1 实例 138

6.1.2　微分方程的概念 139

6.2　一阶微分方程 140

6.2.1　可分离变量的一阶微分方程 140

6.2.2　一阶线性微分方程 142

6.2.3　可降阶的高阶微分方程 144

6.2.4　一阶微分方程的应用 146

6.3　二阶线性微分方程 148

6.3.1　二阶线性微分方程解的结构 148

6.3.2　二阶常系数线性齐次微分方程 150

6.3.3　二阶常系数线性非齐次微分方程 152

6.3.4　二阶常系数线性微分方程的应用 157

6.4　本章小结 161

习题 162

7.1　直角坐标系 163

7.1.1 平面直角坐标系 163

第7章 向量代数初步 163

7.1.2　空间点的直角坐标 164

7.1.3　空间两点间的距离 165

7.2　向量的加法与数乘 166

7.2.1　向量的概念 166

7.2.2　向量的加法 166

7.2.3　向量的数乘 167

7.3　向量的坐标 168

7.3.1 向量在轴上的投影 168

7.3.2　向量的坐标表示 169

7.3.3 向量的模与方向余弦的坐标表示 170

7.4.1　向量的数量积 173

7.4　向量的数量积与向量积 173

7.4.2　向量的向量积 175

7.5　本章小结 177

习题 178

第8章　线性代数初步 179

8.1　行列式 179

8.1.1　行列式的概念 179

8.1.2　行列式的性质与计算 184

8.1.3　克拉默法则 189

8.2　矩阵 192

8.2.1　矩阵的概念 192

8.2.2　矩阵的运算及其性质 193

8.2.3　逆矩阵 200

8.2.4　矩阵的初等行变换 203

8.2.5　矩阵的秩 205

8.3　线性方程组 207

8.3.1　高斯消去法 207

8.3.2　线性方程组的基本定理 209

8.4　本章小结 212

习题 212

第9章　预备知识 215

9.1　代数式 215

9.1.1　整式的乘法 215

9.1.2　因式分解 216

9.1.3　分式 217

9.1.4　根式 217

9.2　代数方程 218

9.2.1　二元一次方程组 218

9.2.2　一元二次方程 219

9.2.3　一元高次方程 221

9.2.4　简单超越方程 221

9.3　不等式 222

9.3.1　不等式的概念和性质 222

9.3.2　解不等式 223

9.4.1 三角形 227

9.4　常见几何图形 227

9.4.2 四边形 228

9.4.3 圆与扇形 229

9.4.4　长方体 229

9.4.5　圆柱体 230

9.4.6　圆锥体 230

9.4.7　球 230

9.5　三角函数 231

9.5.1　三角函数定义 231

9.5.2　两角和与差的三角函数 233

9.6.1　直线 234

9.6　直角坐标系中的直线、圆和椭圆 234

9.6.2　圆和椭圆 236

9.7　极坐标系简介 237

9.7.1　极坐标系 237

9.7.2　极坐标系中的特殊曲线 238

9.8　排列、组合和二项式定理 240

9.8.1　排列和组合 240

9.8.2　二项式定理 242

9.9　本章小结 242

习题 242

附录　习题答案 245

参考文献 252