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实际作图和理论作图 1

目录引言 1

关于代数形式问题的说明 2

第一部分 代数表达式的作图可能性 3

第一章 可用平方根求解的代数方程 5

1～4．可作图的表达式x的结构 5

5，6．x的正规形式 6

7，8．共轭值 7

9．对应方程F（x）＝0 7

10．其他有理方程f（x）＝0 7

11，12．不可约方程φ（x）＝0 9

13，14．不可约方程的次数——2的幂 10

1．用直尺和圆规解Delian问题的不可能性 11

2．一般方程x3＝λ 11

第二章 Delian问题和角的三等分 11

3．用直尺和圆规三等分角的不可能性 12

第三章 圆的等分 14

1．问题的历史 14

2～4．Gauss的素数 15

5．割圆方程 16

6．Gauss引理 17

7，8．割圆方程的不可约性 18

第四章 正17边形的几何作图 21

1．问题的代数表述 21

2～4．根形成的周期 22

5，6．周期满足的二次方程 24

7．用直尺和圆规作图的历史说明 29

8，9．正17边形的Von Staudt的作图 29

1．折纸 36

2．圆锥曲线的交 36

第五章 代数作图的一般情形 36

3．Diocles的蔓叶线 38

4．Nicomedes的蚌线 39

5．机械设备 40

第二部分 超越数和圆的求积 43

第一章 超越数存在性的Cantor证明 45

1．代数数和超越数的定义 45

2．代数数按高度的排列 46

3．超越数存在性的证明 48

第二章 关于π的计算和作图的历史概观 49

1．经验时期 49

2．希腊数学家 50

3．从1670年到1770年的现代分析 52

4，5．1770年起评论严格性的复兴 52

1．证明的概要 54

第三章 数e的超越性 54

2．符号hr和函数φ（x） 55

3．Hermite定理 58

第四章 数π的超越性 60

1．证明的概要 60

2．函数ψ（x） 62

3．Lindemann定理 64

4．Lindemann推论 66

5．π的超越性 68

6．y＝ex的超越性 68

7．y＝sin-1x的超越性 68

第五章 积分仪与π的几何作图 70

1．用直尺和圆规解圆的求积的不可能性 70

2．积分仪的原理 70

3．π的几何作图 71

注记 73