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引言 1

0　预备知识 3

0.1　集论初等概念 3

0.2　Peano自然数公理 5

0.3　可数集 6

1　命题演算 9

1.1　命题联结词与真值表 9

1.2 命题演算的建立 13

1.2.1　命题演算公式集 14

1.2.2　命题演算L 19

1.2.3　演绎定理 23

1.2.4　反证律与归谬律 25

1.2.5　析取，合取与等值 28

1.3　命题演算的语义 33

1.3.1　真值函数 33

1.3.2　赋值与语义推论 36

1.4　命题演算L的可靠性与完全性 43

1.5　命题演算的其他课题 46

1.5.1　等值公式与对偶律 46

1.5.2　析取范式与合取范式 50

1.5.3　运算的完全组 54

1.5.4　应用举例 58

2　谓词演算 61

2.1　谓词演算的建立 61

2.1.1　项与原子公式 61

2.1.2　谓词演算公式集 64

2.1.3　谓词演算K 67

2.1.4　其他课题：对偶律与前束范式 74

2.2　谓词演算的语义 81

2.2.1　谓词演算K的解释域与项解释 81

2.2.2　公式的赋值函数 85

2.2.3　闭式的语义特征 88

2.2.4　语义推论与有效式 92

2.3　K的可靠性 94

2.4　K的完全性 99

3　形式算术与递归函数 105

3.1　带等词的谓词演算 105

3.2　形式算术KN 110

3.3　可表示函数与关系 119

3.3.1　什么是可表示 119

3.3.2　函数的复合和μ算子保持可表示性 124

3.4　递归函数 129

3.4.1　递归函数的一般定义 129

3.4.2　递归关系和递归集 135

3.5　递归函数的可表示性 136

3.6　对KN的递归分析 142

3.6.1　唯一读法引理 142

3.6.2　G？del数 144

3.6.3　过程值递归 146

3.6.4　KN的一些递归性质 149

4　不完备性定理 159

4.1　G？del不完备性定理 159

4.1.1　G？del定理 159

4.1.2　G？del-Rosser定理 161

4.1.3　Church论题 163

4.1.4　关于不完备性定理的一些讨论 165

4.1.5　G？del第二不完备性定理 168

4.2　形式算术的不可判定性定理 171

4.3　递归可枚举集与算术集 174

4.3.1 证公式集的递归可枚举性 174

4.3.2　递归可枚举集的算术可定义性 175

4.3.3　真公式集的非算术可定义性 178

4.4　Turing机与Turing论题 180

4.5　人与机器 187

部分练习答案或提示 189

符号汇集 203

参考文献 205