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目录 1

第1章 函数与极限 1

1 1 n维空间 点集 实数系 1

1 1 1 n维空间 1

1 1 2 点集 2

1 1 3 实数系 4

1 2 函数 5

1 2 1 映射 5

1 2 3 初等函数 7

1 2 2 函数 7

习题1 2 11

1 3 极限 12

1 3 1 引言 12

1 3 2 数列极限 14

1 3 3 函数极限 19

1 3 4 无穷小与无穷大 25

习题1 3 27

1 4 极限的运算 28

习题1 4 34

1 5 1 极限存在准则 35

1 5 极限存在准则 两个重要极限 35

1 5 2 两个重要极限 38

习题1 5 42

1 6 无穷小阶的比较 42

习题1 6 45

1 7 函数的连续性 45

1 7 1 函数的连续 46

1 7 2 函数的间断点 48

1 7 3 连续函数的运算 50

1 7 4 初等函数的连续性 51

习题1 7 53

1 8 闭区间上连续函数的性质 54

习题1 8 60

总习题1 60

第2章 导数与不定积分 63

2 1 导数概念 63

2 1 1 背景 63

2 1 2 导数的定义 65

2 1 3 求导数举例 66

2 1 4 单侧导数 68

2 1 5 导数的几何意义 68

2 1 6 函数的可导性与连续性的关系 69

习题2 1 71

2 2 求导法 72

2 2 1 加减求导法则 72

2 2 2 乘法求导法则 73

2 2 3 除法求导法则 74

2 2 4 复合函数求导法则 75

2 2 5 隐函数求导法 76

2 2 6 基本导数公式与求导法则 78

2 2 7 求导举例 79

习题2 2 81

2 3 函数的微分 83

2 3 1 微分与可微 83

2 3 2 微分在近似计算中的应用 85

2 3 3 微分公式与微分运算法则 86

2 3 4 微分形式不变性 87

2 3 5 由参数方程确定的函数的微分法 88

2 3 6 相关变化率 89

习题2 3 90

2 4 高阶导数 91

2 4 1 y＝f（x）的高阶导数的求法 92

2 4 2 隐函数的二阶导数 93

2 4 3 参数方程表示的函数的二阶导数 94

习题2 4 95

2 5 不定积分的概念与性质 97

2 5 1 原函数与不定积分的概念 97

2 5 2 不定积分的几何意义 99

2 5 3 基本积分表 100

2 5 4 不定积分的性质 102

习题2 5 103

2 6 换元积分法 105

2 6 1 第一类换元积分法 105

2 6 2 第二类换元积分法 110

习题2 6 113

2 7 分部积分法 116

习题2 7 120

2 8 有理式的积分 121

2 8 1 有理函数的积分 121

2 8 2 三角有理式的积分 125

2 8 3 简单根式的积分 126

习题2 8 127

总习题2 128

3 1 1 Rolle定理 131

第3章 微分中值定理与导数的应用 131

3 1 微分中值定理（Ⅰ） 131

3 1 2 Lagrange定理 133

习题3 1 135

3 2 微分中值定理（Ⅱ） 136

3 2 1 Cauchy定理 136

3 2 2 Taylor定理 138

习题3 2 142

3 3 未定式求值 142

3 3 1 ？型与？型未定式 143

3 3 2 其他未定式 145

习题3 3 148

3 4 曲线的升降与凹凸 149

3 4 1 函数的单调性与曲线的升降 149

3 4 2 曲线的凹凸性与拐点 150

习题3 4 153

3 5 函数的极值与最值 153

3 5 1 函数的极值 154

3 5 2 函数的最值 156

3 6 1 弧微分 160

3 6 弧微分与曲率 160

习题3 5 160

3 6 2 曲率与曲率半径 162

习题3 6 165

3 7 函数图形的描绘 165

3 7 1 曲线的渐近线 166

3 7 2 函数图形的描绘 167

习题3 7 169

总习题3 170

4 1 1 定积分的概念 172

4 1 定积分的概念与性质 172

第4章 定积分及其应用 172

4 1 2 定积分的基本性质 176

习题4 1 180

4 2 微积分基本定理 181

4 2 1 原函数存在定理 181

4 2 2 微积分基本定理 184

习题4 2 185

4 3 定积分计算 186

4 3 1 定积分的换元法 187

4 3 2 定积分的分部积分法 190

习题4 3 193

4 4 反常积分 195

4 4 1 无穷限的反常积分 195

4 4 2 无界函数的反常积分 197

＊4 4 3 反常积分的审敛法 199

习题4 4 201

4 5 定积分的应用 201

4 5 1 微元法 201

4 5 2 定积分在几何上的应用 203

4 5 3 定积分在物理上的应用 215

习题4 5 218

总习题4 219

第5章 常微分方程 221

5 1 常微分方程的基本概念 221

5 1 1 基本概念 222

5 1 2 线性方程的性质 223

习题5 1 226

5 2 可分离变量型微分方程 226

5 2 1 可分离变量型方程 227

5 2 2 可化为可分离变量型的方程 229

习题5 2 234

5 3 1 一阶线性齐次方程 235

5 3 一阶线性方程 235

5 3 2 一阶线性非齐次方程 236

5 3 3 可化为一阶线性方程的方程——Bernoulli方程 238

习题5 3 241

5 4 可降阶的高阶微分方程 242

5 4 1 y（n）＝f（x,y（k）,y（n 1）型方程 242

5 4 2 y（n）＝f（y,y（k）,y（n 1）型方程 243

习题5 4 246

5 5 二阶常系数线性微分方程 247

5 5 1 齐次方程 247

5 5 2 非齐次方程 252

习题5 5 258

＊5 6 Euler方程 259

习题5 6 260

＊5 7 线性微分方程解法简介 260

＊5 8 线性方程组 262

＊5 9 微分方程后记 266

总习题5 268

附录1 习题答案 270

附录2 积分表 286