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第一章 行列式 1

1.1 内容提要 1

1.1.1 排列及其奇偶性 1

1.1.2 n阶行列式 1

1.1.3 行列式的性质和展开定理 2

1.1.4 克莱姆(Cramer)法则 3

1.2 基本要求与重点、难点分析 4

1.2.1 基本要求 4

1.2.2 重点、难点分析 4

1.3 典型例题解析 5

1.3.1 求排列的逆序数 5

1.3.2 n阶行列式的定义 7

1.3.3 行列式的性质与展开定理的应用 9

1.3.4 行列式的计算 12

1.3.5 利用范德蒙行列式进行计算 31

1.3.6 应用克莱姆法则解线性方程组 34

1.4 练习题 38

第二章 矩阵 43

2.1 内容提要 43

2.1.1 矩阵及其运算 43

2.1.2 可逆矩阵 46

2.1.3 分块矩阵 48

2.1.4 矩阵的初等变换 50

2.1.5 矩阵的秩 51

2.2 基本要求与重点、难点分析 52

2.2.1 基本要求 52

2.2.2 重点、难点分析 53

2.3 典型例题解析 54

2.3.1 矩阵的运算与运算律 54

2.3.2 求方阵的行列式 61

2.3.3 逆矩阵的计算与证明题 62

2.3.4 解矩阵方程 72

2.3.5 与伴随矩阵有关的计算或证明题 79

2.3.6 分块矩阵 84

2.3.7 矩阵的初等变换与初等矩阵 87

2.3.8 求矩阵的秩及有关证明题 89

2.4 练习题 95

第三章 线性方程组和向量 100

3.1 内容提要 100

3.1.1 线性方程组的消元法 100

3.1.2 n维向量及其线性运算 101

3.1.3 向量组的线性相关与线性无关 104

3.1.4 向量组的极大线性无关组与向量组的秩 105

3.1.5 线性方程组解的结构 108

3.2 基本要求与重点、难点分析 109

3.2.1 基本要求 109

3.2.2 重点、难点分析 110

3.3 典型例题解析 111

3.3.1 关于线性方程组的解的判定与消元法 111

3.3.2 含有参数的线性方程组的讨论与求解 118

3.3.3 一个向量由某个向量组线性表出的问题 125

3.3.4 向量组的线性相关性的判定 129

3.3.5 在线性表出关系下，两个向量组的线性相关性讨论 141

3.3.6 向量组的秩与极大线性无关组 146

3.3.7 关于矩阵的秩的证明题 154

3.3.8 求线性方程组的全部解 160

3.4 练习题 175

第四章 向量空间 180

4.1 内容提要 180

4.1.1 向量空间 180

4.1.2 实向量空间中向量的度量性 182

4.1.3 正交矩阵 183

4.2 基本要求与重点、难点分析 184

4.2.1 基本要求 184

4.2.2 重点、难点分析 184

4.3 典型例题解析 185

4.3.1 向量空间的验证与求向量空间的维数和基 185

4.3.2 求基过渡矩阵与向量的坐标 188

4.3.3 关于向量的度量性问题 190

4.3.4 与正交矩阵有关的问题 195

4.4 练习题 198

第五章 矩阵的特征值与特征向量 201

5.1 内容提要 201

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量 201

5.1.2 相似矩阵与矩阵的可对角化 202

5.1.3 实对称矩阵的对角化 203

5.2 基本要求与重点、难点分析 204

5.2.1 基本要求 204

5.2.2 重点、难点分析 204

5.3 典型例题解析 206

5.3.1 特征值和特征向量的概念题 206

5.3.2 抽象矩阵的特征值、特征向量的计算 211

5.3.3 具体矩阵的特征值与特征向量的计算 215

5.3.4 矩阵特征值、特征向量的逆问题 217

5.3.5 关于矩阵相似与对角化问题 223

5.3.6 实对称矩阵与其正交相似对角化问题 237

5.4 练习题 244

第六章 二次型 247

6.1 内容提要 247

6.1.1 二次型的基本概念 247

6.1.2 二次型的标准形与规范形 248

6.1.3 实二次型与实对称矩阵的正定性 250

6.2 基本要求与重点、难点分析 251

6.2.1 基本要求 251

6.2.2 重点、难点分析 251

6.3 典型例题解析 252

6.3.1 二次型的矩阵表示与矩阵的合同问题 252

6.3.2 化实二次型为标准形 257

6.3.3 二次型与对称矩阵的正定性的判定 269

6.4 练习题 280

附录一 2004年硕士学位研究生入学考试线性代数试题 284

附录二 练习题答案、提示与解答 287

参考书目 304