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前言 1

第1章 预备知识 1

1.1 射影几何初步 1

1.1.1 射影平面 1

1.1.2 平面对偶原理 4

1.2 关于代数曲线 6

1.2.1 多项式的结式 6

1.2.2 Bézout定理 7

1.2.3 Nōther定理 8

1.3 关于曲线、曲面的基础 9

1.3.1 向量的内积与向量积 9

1.3.2 正则曲线 11

1.3.3 正则曲面 13

1.4 三角剖分 16

1.5 Weierstrass逼近定理 18

1.6 一元样条函数与Bézier曲线 20

1.6.1 样条函数的定义及基本性质 21

1.6.2 B样条函数 23

1.6.3 Bézier曲线及B样条曲线 26

第2章 多元样条函数的研究方法 36

2.1 光滑余因子方法 36

2.2 B网方法 41

2.3 B样条方法 46

第3章 局部多项式插值及超限插值 49

3.1 局部多项式插值 49

3.1.1 HCT格式 49

3.1.2 Powell-Sabin格式 51

3.2 插值算子的布尔和 55

3.3 矩形域上的超限插值 57

3.4 四边形Coons曲面片 60

3.5 三角Coons曲面片 64

3.5.1 BBG超限插值格式 64

3.5.2 Nielson的边顶点格式 66

3.5.3 对称的Gregory公式 73

第4章 分片有理函数插值 75

4.1 任意凸多边形上的C0有理函数 76

4.2 三角剖分上的C1插值有理样条函数 80

4.2.1 C1广义楔函数 80

4.2.2 三角剖分上C1插值有理样条的表现 83

4.2.3 三阶逼近基和插值有理样条的等价表示 84

4.3 三角剖分上的C2插值有理样条函数 86

4.3.1 C2广义楔函数及其构造 86

4.3.2 三角剖分上C2插值有理样条的表现 89

4.3.3 C2插值有理样条的等价表示 90

4.4 正则四边形剖分上的插值有理样条 91

4.5 曲边元上的C1有理样条插值曲面 94

第5章 多项式样条空间结构与代数曲线 100

5.1 K[X]m中模的生成基及其计算 101

5.1.1 序，约化定理及生成基 101

5.1.2 计算生成基的算法 108

5.2 二元样条空间的奇异性条件 111

5.2.1 最简单的样条奇异性现象 112

5.2.2 Morgan-Scott剖分上的S12样条空间 113

5.2.3 Sμμ+1（ΔμMS）空间的奇异性条件 115

5.3 代数曲线的几何不变量 118

5.3.1 射影几何中新的基本概念 120

5.3.2 代数曲线的特征数 122

5.4 特征数的应用 123

5.4.1 特征数在代数曲线理论中的应用 123

5.4.2 特征数在样条空间奇异性研究中的应用 126

5.5 任意剖分上低次样条空间的结构 129

5.5.1 S1k（△）样条函数空间的结构矩阵 129

5.5.2 样条函数空间S13（△）和S12（△）维数的讨论 133

5.5.3 三角剖分中网点的序 135

5.5.4 样条空间维数上界的改进 135

5.5.5 三角剖分的拓扑性质和它的结构矩阵的关系 141

5.5.6 关于非奇异三角剖分的生成方法 144

第6章 NURBS曲线与曲面 146

6.1 NURBS曲线与曲面的定义 147

6.2 NURBS曲线与曲面的基本性质 149

6.3 NURBS曲线与曲面的基本几何算法 154

6.3.1 NURBS曲线与曲面的几何作图法 154

6.3.2 NURBS曲线的节点插入算法 157

第7章 曲线、曲面细分方法 159

7.1 细分方法概述 160

7.2 均匀节点上B样条及细分 165

7.2.1 B样条的节点细分 165

7.2.2 卷积方法 167

7.3 正规细分的收敛性及光滑性分析 170

7.4 曲面细分奇异点处的连续性分析 181

7.5 常用的几种细分方法介绍 186

7.5.1 Catmull-Clark细分 188

7.5.2 Doo-Sabin细分 190

7.5.3 Loop细分 191

7.5.4 四点插值细分 193

7.5.5 改进的Butterfly细分 194

7.5.6 √3细分 195

7.5.7 四点逼近的曲线细分方法 196

7.5.8 非静态的曲线细分方法 198

7.6 算法及实现 203

7.6.1 数据结构 203

7.6.2 Loop细分算法 205

第8章 曲线与曲面参数化 207

8.1 曲线参数化方法 207

8.1.1 均匀参数化 207

8.1.2 累加弦长参数化 208

8.1.3 向心参数化 208

8.1.4 修正弦长参数化 208

8.2 关于累加弦长参数化的进一步讨论 209

8.3 曲面参数化方法的畸变度量 212

8.4 重心映射参数化方法 215

8.4.1 三角网格曲面表示 215

8.4.2 重心映射方法 216

8.5 几种常见的重心映射参数化算法 218

8.5.1 均匀参数化 218

8.5.2 保形参数化 219

8.5.3 离散调和映射参数化 220

8.5.4 中值坐标参数化 221

8.5.5 基于Ricci流的曲面参数化 222

8.6 数值结果与分析 225

参考文献 229