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目录 1

第1章　一元函数（数列）极限求法 1

本章概述 1

1.1　“？”型未定式 2

1.2　“？”型未定式 6

1.3　“∞- ∞”型未定式 7

1.4　“0·∞”型未定式 8

1.5　幂指型未定式（1∞，∞0，00） 10

1.6　求极限式中的参数 13

1.7　数列的极限 14

1.8　求无穷小的阶 16

1.9　函数、连续与间断 17

思考题·综合题·杂题 19

答案 21

第2章　一元函数微分法 23

本章概述 23

2.1　用导数定义求导数 23

2.2　隐函数的导数与微分 24

2.3　由参数方程确定的函数的导数 26

2.4　对数求导法 27

2.5　高阶导数 28

思考题·综合题·杂题 29

答案 30

本章概述 31

第3章　关于分段函数的分析运算 31

3.1　分段函数的极限与连续……………………………………………………………………………（31 ）3.2　分段函数的导数 32

3.3　分段函数在界点处的连续性与可导性 34

3.4　由分段函数的连续性与可导性求参数值 35

3.5　分段函数的积分 37

思考题·综合题·杂题 39

答案 39

第4章　关于微分中值命题 41

本章概述 41

4.1　含有一个中间值ξ的等式 41

4.2　含有两个中间值的等式 43

4.3　关于微分中值不等式 45

思考题·综合题·杂题 47

第5章　导数的应用 49

本章概述 49

5.1　函数的单调性 49

5.2　极值与最值 50

5.3　凹凸性与拐点 55

5.4　函数图形的描绘 56

思考题·综合题·杂题 58

答案 59

第6章　方程根的存在性与唯一性 61

本章概述 61

6.1　连续函数的中间值命题 61

6.2　方程根的存在性 62

6.3　方程根的唯一性 65

答案 68

思考题·综合题·杂题 68

第7章　证不等式 69

本章概述 69

7.1　利用中值定理证明不等式 69

7.2　利用单调性证不等式 71

7.3　利用最值证不等式 75

7.4　利用泰勒公式证不等式 77

7.5　利用凹凸性证明不等式 78

7.6　定积分不等式 79

思考题·综合题·杂题 83

本章概述 86

8.1　关于不定积分概念 86

第8章　不定积分的计算 86

8.2　凑微分法（第一类换元法） 87

8.3　变量替换法（第二类换元法） 91

8.4　分部积分法 93

8.5　循环与递推 96

8.6　不可积项相消 98

8.7　几种特殊类型函数的积分 99

思考题·综合题·杂题 105

答案 106

第9章　定积分计算与广义积分 108

本章概述 108

9.1　定积分的换元积分法 108

9.2　定积分的分部积分法 112

9.3　涉及定积分的函数方程 115

9.4　广义积分 116

思考题·综合题·杂题 120

答案 121

第10章　积分上限函数的有关运算 122

本章概述 122

10.1　积分上限函数的导数 122

10.2　涉及积分上限函数的极限问题 125

10.3　积分上限函数的单调性与极值 126

思考题·综合题·杂题 127

答案 128

本章概述 129

11.1　平面图形的面积 129

第11章　定积分的应用 129

11.2　两类特殊几何体的体积 132

11.3　定积分的物理应用 137

思考题·综合题·杂题 140

答案 140

第12章　向量代数与空间解析几何 142

本章概述 142

12.1　向量代数 142

12.2　直线与平面 146

12.3　空间曲线与曲面 151

思考题·综合题·杂题 153

答案 154

第13章　二元函数的极限与连续 155

本章概述 155

答案 160

思考题·综合题·杂题 160

第14章　多元函数微分法 161

本章概述 161

14.1　几个基本概念之间的关系 161

14.2　计算偏导数 164

14.3　多元隐函数求导法 170

思考题·综合题·杂题 175

答案 177

第15章　多元函数微分学的应用 179

本章概述 179

15.1　计算方向导数与梯度 179

15.2　多元函数微分法在几何上的应用 181

15.3　多元函数的极值与最值 183

思考题·综合题·杂题 188

答案 189

第16章　二重积分 191

第16～22章概述 191

本章概述 191

16.1　交换积分次序 193

16.2　通过换序求二重积分 195

16.3　选择适当的坐标系与积分次序计算二重积分 195

16.4　二重积分证明题 198

思考题·综合题·杂题 199

答案 200

第17章　三重积分 201

本章概述 201

17.1　直角坐标系下化为三次积分 202

17.2　先二后一法 205

17.3　柱坐标下化为三次积分 207

17.4　球坐标下化为三次积分 208

思考题·综合题·杂题 210

答案 211

第18章　曲线积分·格林公式 213

关于线、面积分计算的概述 213

本章概述 213

18.1　对弧长的曲线积分的计算 214

18.2　对坐标的曲线积分的直接计算法 216

18.3　格林公式 220

18.4　对坐标的曲线积分的间接计算法之一（利用格林公式） 221

18.5　对坐标的曲线积分的间接计算法之二（利用路径无关定理） 225

思考题·综合题·杂题 228

答案 229

第19章　曲面积分·高斯公式·斯托克斯公式 230

本章概述 230

19.1　对面积的曲面积分的计算法 230

19.2　对坐标的曲面积分的直接计算法 233

19.3　对坐标的曲面积分的间接计算法之一（利用高斯公式） 236

19.4　对坐标的曲面积分的间接计算法之二（化为对面积的曲面积分） 240

19.5　对坐标的曲面积分的间接计算法之三（合一投影法） 241

19.6　对坐标的（空间）曲线积分的间接计算法之三（利用斯托克斯公式） 244

思考题·综合题·杂题 248

答案 249

20.1　奇偶对称性 250

第20章　奇偶对称性·轮换对称性·代入技巧 250

本章概述 250

20.2　轮换对称性 256

20.3　代入技巧 261

思考题·综合题·杂题 262

答案 263

第21章　几何形体求积 265

本章概述 265

21.1　弧长 265

21.2　曲面的面积 267

21.3　体积 269

思考题·综合题·杂题 271

答案 272

本章概述 274

第22章　重心·转动惯量·引力 274

22.1　转动惯量 275

22.2　重心 278

22.3　引力 281

思考题·综合题·杂题 282

答案 283

第23章　绝对值和算术根 284

本章概述 284

23.1　极限运算中的绝对值和算术根 284

23.2　求导运算中的绝对值和算术根 285

23.3　积分运算中的绝对值和算术根 286

23.4　多元函数积分学中的绝对值和算术根 289

思考题·综合题·杂题 290

答案 291

第24章　常数项级数 292

本章概述 292

24.1　正项级数审敛法 292

24.2　绝对收敛与条件收敛 296

24.3　级数证明题 299

思考题·综合题·杂题 300

答案 302

第25章　幂级数与傅立叶级数 304

本章概述 304

25.1　求幂级数的收敛域 304

25.2　函数展开成幂级数 307

25.3　幂级数求和 310

25.4　傅立叶级数 313

思考题·综合题·杂题 318

答案 319

第26章　微分方程的求解问题 321

本章概述 321

26.1　一阶微分方程的解法 321

26.2　可降阶的高阶微分方程的解法 328

26.3　二阶（高阶）线性常系数微分方法的解法 328

26.4　微分方程的应用 333

思考题·综合题·杂题 335

答案 337

记号说明 338