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第一章　方程的导出与定解问题 1

第一节　方程的导出 1

一、方程的导出 1

目次 1

二、偏微分方程的一些基本概念 8

第二节　定解条件与定解问题 9

一、定解条件 9

二、定解问题及其适定性 12

三、迭加原理 14

第三节　变分原理 15

习题一 19

第二章　经典解法 21

第一节　特征方法 21

一、一阶拟线性方程 21

二、Cauchy问题 22

一、一维波动方程的D′Alembert公式 26

第二节　一维波动方程的初值问题 26

二、齐次化原理 29

三、半无界弦的混合问题对称开拓法 31

第三节　高维波动方程的初值问题 32

一、三维波动方程初值问题的球平均法 32

二、二维波动方程的初值问题 降维法 36

三、依赖区域 决定区域影响区域 37

四、Huygens原理 波的弥散 38

第四节　分离变量法 39

一、齐次方程齐次边界条件的定解问题 40

二、圆域内Laplace方程的第一边值问题 44

三、非齐次方程的情形 46

四、非齐次边界条件的处理 47

第五节　积分变换法 49

一、Fourier变换及其应用 50

二、Laplace变换及其应用 54

习题二 57

第三章　二阶线性偏微分方程的分类与化简 62

第一节　两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 62

一、两个自变量的二阶线性方程的分类 62

二、两个自变量的二阶线性方程的化简 63

第二节　多个自变量的二阶线性方程 67

一、多个自变量的二阶线性方程的分类 67

二、多个自变量的常系数方程的标准形 69

习题三 70

第四章　基本解与Green函数 72

第一节　广义函数 72

一、广义函数的引入 72

二、基本函数空间 73

三、广义函数的基本运算 76

四、广义函数的Fourier变换 80

一、Poisson方程的基本解 83

第二节　基本解 83

二、热传导方程的基本解 84

三、波动方程Cauchy问题的基本解 86

第三节 Laplace方程的Green函数法 88

一、Green公式及其应用 88

二、Green函数 91

三、静电源像法 93

习题四 97

第五章　先验估计 99

第一节　Poisson方程的极值原理与最大模估计 99

一、极值原理 99

二、边值问题解的最大模估计 103

第二节　热传导方程的极值原理与最大模估计 107

一、弱极值原理 107

二、混合问题解的最大模估计 109

三、初值问题解的最大模估计 111

第三节　波动方程的能量不等式解的唯一性和稳定性 112

一、能量不等式 混合问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 112

二、初值问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 116

习题五 119

第六章　数值方法 122

第一节 Hilbert空间 122

第二节　广义解的定义及其适定性 126

一、广义解的定义 126

二、广义解的适定性 128

第三节　Ritz方法和Galerkin方法 130

一、Ritz方法 130

二、Galerkin方法 131

三、投影定理 132

第四节　有限元方法 133

一、线性有限元逼近 134

二、近似解的收敛性 137

第五节　差分法 140

一、差商与差分方程 141

二、Poisson方程的差分法 143

三、波动方程的差分格式 148

四、热传导方程的差分格式 149

习题六 150

第七章　摄动方法 152

第一节　正则摄动法 152

一、引例 152

二、正则摄动法 153

三、正则摄动法失效的其他情况 155

第二节　PLK方法 158

一、LP方法（变形参数法） 158

二、PLK方法 162

第三节　匹配法 165

一、多重尺度法简介 173

第四节　多重尺度法 173

二、多重尺度法的应用 177

习题七 182

附录Ⅰ Sturm-Liouville理论 184

一、Sturm-Liouville问题 184

二、Sturm-Liouville定理 185

三、固有值和固有函数的存在性 188

四、固有函数系的完备性 192

附录Ⅱ Bessel函数 194

第一节　Bessel方程的导出 194

第二节　Bessel方程的求解 195

第三节　Bessel函数的性质 198

一、生成函数与积分表示 198

二、Bessel函数的递推公式 199

三、Bessel函数的渐近公式 201

四、Bessel函数的零点 202

五、Bessel函数的正交性 204

第四节　Bessel函数的应用 205

附录Ⅲ Legendre多项式 208

第一节　Legendre方程的导出 208

第二节　Legendre方程的求解 209

第三节　Legendre多项式 211

第四节　Legendre多项式的性质 213

一、Legendre多项式Pn（x）的Rodrigues表达式 213

二、Legendre多项式Pn（x）的生成函数 213

三、Legendre多项式Pn（x）的正交性 215

第五节　连带的Legendre多项式 218

附录Ⅳ　Fourier变换表和Laplace变换表 220

一、Fourier变换 220

二、Laplace变换 221

习题答案与提示 223

参考文献 232