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第一章　数学哲学的基本问题 1

1.1 关于数学对象的本体论问题 2

1.1.1 朴素的数学实在论及其认识论难题 3

1.1.2　朴素的数学反实在论及其可应用性难题 7

1.1.3 二十世纪各数学哲学流派对本体论问题的回答 8

1.2 关于数学语言的意义问题 16

1.2.1 数学实在论的意义理论及其难题 17

1.2.2 数学反实在论的意义理论及其难题 20

1.2.3 二十世纪各数学哲学流派对意义问题的回答 24

1.3 关于数学知识的认识论问题 25

1.3.1 数学实在论的认识论难题 25

1.3.2　数学反实在论的认识论任务 29

1.4　数学的分析性与先天性 31

1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题 31

1.4.2　传统哲学的回答 34

1.4.3　二十世纪数学哲学流派的各种回答 38

1.5　数学的客观性 39

1.5.1　数学的客观性与数学对象的客观存在性 39

1.5.2　数学的客观性问题 43

1.6　数学的可应用性 48

1.6.1　数学实在论并未清楚解释可应用性 48

1.6.2　什么是真正的可应用性问题？ 50

1.6.3 对可应用性的解释可能支持反实在论 53

1.7　数学哲学研究的意义 55

1.7.1　二十世纪数学哲学的演变 55

1.7.2　数学哲学研究的意义 57

第二章　一种自然主义数学哲学 62

2.1 自然主义的基本信念 62

2.1.1　什么是自然主义的基本信念？ 64

2.1.2 自然主义的认识论 68

2.1.3 自然主义的指称理论 72

2.1.4 自然主义背景下的真理与逻辑 76

2.1.5 自然主义与抽象实体 80

2.2 自然主义数学哲学的任务 81

2.2.1　从虚构主义开始 81

2.2.2　虚构主义的不足 86

2.2.3 自然主义数学哲学的任务 88

2.3 数学语言的意义与数学知识 91

2.3.1 自然主义框架下的数学语言的意义 91

2.3.2 自然主义框架下的数学知识 97

2.4　数学的客观性 98

2.4.1 涉及思想与事物的联系的客观性 98

2.4.2　概念的客观性 101

2.4.3　规则的客观性 104

2.4.4　想象事物时的客观性 106

2.5　数学的分析性、先天性与必然性 108

2.5.1 自然主义框架下的先天性问题 108

2.5.2　概念框架与分析性 112

2.5.3 经验知识库与先天性的定义 115

2.5.4　内在知识 119

2.5.5　算术是分析的、先天的吗？ 120

2.5.6　逻辑与算术是必然的吗？ 123

2.6　数学的可应用性 126

2.6.1 数学的可应用性问题的自然化 126

2.6.2　解释可应用性的一个策略 131

第三章　十九世纪的数学基础研究 137

3.1 十九世纪的分析严格化运动 138

3.1.1 十七、十八世纪的微积分与数学分析中的问题 139

3.1.2　十九世纪的分析严格化运动 141

3.1.3　从自然主义的角度看分析严格化运动 143

3.2　康托尔与戴德金的实数理论 150

3.2.1 康托尔与戴德金的实数理论的要点 150

3.2.2　对实数理论的自然主义解读 154

3.3　戴德金的自然数理论 157

3.3.1 戴德金的自然数理论的要点 157

3.3.2　戴德金的自然数理论的难点 160

3.3.3　对戴德金的理论及其难点的自然主义分析 164

3.3.4　皮亚诺的自然数公理 165

3.4　悖论与数学基础的危机 166

3.4.1　康托尔的集合论 166

3.4.2　集合论的悖论与数学基础危机 169

3.4.3　从自然主义角度的分析 172

第四章　弗雷格与逻辑主义 178

4.1 弗雷格的概念文字 181

4.1.1 弗雷格的逻辑贡献 181

4.1.2　弗雷格果真将直观知识还原为逻辑了吗？ 185

4.2 弗雷格的概念实在论与反心理主义 192

4.2.1 弗雷格的概念实在论思想的要点 192

4.2.2　从自然主义的角度看概念实在论 197

4.2.3　从自然主义的角度看心理主义 202

4.3 弗雷格的算术哲学 204

4.3.1 弗雷格的算术哲学的要点 204

4.3.2　数词必须指称对象吗？ 211

4.3.3 弗雷格的认识论难题 214

4.4 罗素的类型论 219

4.4.1 简单类型论的基本思想及其难题 220

4.4.2　分支类型论的基本思想及其难题 229

4.4.3　无穷公理及其问题 233

4.4.4　从自然主义角度看类型论 235

第五章　直觉主义 239

5.1 与直觉主义相关的前期思想 241

5.1.1 克罗内克的直觉主义思想 241

5.1.2　庞加莱的数学哲学思想 241

5.1.3　其他接近直觉主义倾向的思想 247

5.2 布劳威尔的直觉主义 248

5.2.1 布劳威尔的直觉主义数学哲学的要点 248

5.2.2 从自然主义的角度看布劳威尔的直觉主义 254

5.3　达米特的直觉主义 258

5.3.1 达米特的数学直觉主义的要点 259

5.3.2　从自然主义的角度看达米特对经典数学的批评 265

5.3.3 从自然主义的角度看达米特的验证论意义理论 273

5.4 构造主义 276

第六章　形式主义与不完全性定理 282

6.1 希尔伯特方案 284

6.1.1　希尔伯特的有穷主义数学 285

6.1.2　希尔伯特的证明论思想 294

6.2　哥德尔不完全性定理 300

6.2.1　哥德尔第一不完全性定理 301

6.2.2　哥德尔第二不完全性定理 309

6.2.3　不完全性定理的其他形式 310

6.3 自然主义看形式主义与不完全性定理 313

6.3.1 自然主义对有穷主义数学观念的澄清 314

6.3.2 自然主义对希尔伯特方案的新解释 318

6.3.3 自然主义看不完全性定理与实在论 325

第七章　卡尔纳普与逻辑实证主义 328

7.1 作为重言式的数学 331

7.1.1 逻辑实证主义所面临的数学哲学问题 331

7.1.2　早期逻辑实证主义者的回答：数学是重言式 333

7.1.3 他们的难题：存在性数学公理如何是重言式？ 338

7.2　作为语言的约定的数学 345

7.2.1　卡尔纳普哲学的要点 346

7.2.2　卡尔纳普哲学的内在问题 356

7.3 从自然主义的角度看逻辑实证主义 364

7.3.1 分析逻辑实证主义的语言、意义与真理观 364

7.3.2　数学公理是分析真理吗？ 370

7.3.3　语言框架及其使用主体是什么？ 374

第八章　哥德尔的实在论 380

8.1 哥德尔的概念实在论 383

8.1.1　概念实在论的要点 383

8.1.2　对概念实在论及其论证的分析、批评 391

8.2　心灵与机器 401

8.2.1 哥德尔的心灵观的要点 401

8.2.2　对哥德尔的心灵观的评论 405

第九章　蒯因与不可或缺性论证 409

9.1 蒯因的基本哲学思想 412

9.1.1　蒯因的自然主义 412

9.1.2　蒯因的整体主义 416

9.1.3　蒯因的本体论 423

9.1.4　蒯因的真理观 426

9.2　不可或缺性论证 430

9.2.1　不可或缺性论证概述 431

9.2.2　数学对象不可或缺吗？ 435

9.2.3 科学应用能核证数学对象的存在性吗？ 442

9.2.4 用数学变元就蕴涵着承诺数学对象的存在性吗？ 456

9.3 蒯因式自然主义的内在问题 458

9.3.1 蒯因的一些非自然主义的概念 460

9.3.2 对蒯因哲学的问题的一个心理解释 467

9.3.3 重新检视蒯因的主要哲学思想 471

参考文献 480

名词索引 492