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第1章　基本定义 1

1.1　定义和例 1

1.2　光滑函数与光滑映射 6

1.3　子流形和隐函数定理 9

1.4　技术性的问题 14

参考文献 20

第2章　切丛 21

2.1　流形的切丛 21

2.2　内在的描述 25

2.3　切空间的几何意义 28

2.4　球面的切丛 29

参考文献 32

第3章　矢量丛 33

3.1　定义和例 33

3.2　矢量丛上的运算 40

3.3　丛的正合序列、分裂和一的分割 46

3.4　法丛 51

3.5　仿紧性与一的分割 55

第4章　流形上的微分学 58

4.1　方向导数和矢量场 58

4.2　矢量场的几何，积分曲线 61

4.3　括弧运算和Frobenius定理 65

4.4　矢量场的拓扑学 74

4.5　附录 77

参考文献 81

5.1 Lie群的Lie代数 82

第5章　Lie群 82

5.2　局部同构，Sophus Lie的基本定理 89

5.3　指数映射，较深的结果 95

5.4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用 100

5.5　解析结构和存在性定理 110

5.6 单连通Lie群 113

参考文献 115

第6章　微分形式 116

6.1 引言 116

6.2　函数的微分与一次微分形式 118

6.3　外代数的概述 123

6.4　高次微分形式 128

6.5　其它问题 139

参考文献 143

第7章　积分 144

7.1 引言 144

7.2　单形 144

7.3　矢量空间中的积分 153

7.4　流形上的积分 162

7.5　应用 169

参考文献 177

第8章　de Rham定理 179

8.1　例和概述 179

8.2　奇异同调和de Rham定理 186

8.3　单纯形同调 190

8.4　de Rham定理的证明 195

8.5　复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 200

参考文献 207

9.1　一般的代数知识 208

第9章　同调理论 208

9.2　正合性 217

9.3　同伦，单纯逼近 221

9.4　切除和Mayer-Vietoris序列 228

9.5　应用 241

9.6　CW复形和进一步的计算 246

参考文献 255

第10章　上同调 256

10.1 引言 256

10.2　Pontrjagin对偶性 258

10.3　乘积空间和Künneth公式 261

10.4 “上”积（Cup Product）与“卡”积（Cap Product） 267

10.5　Thom同构定理 274

10.6　Hopf不变量 279

第11章　Poincaré对偶性 285

11.1 引言 285

11.2　基本类 287

11.3　Poincaré对偶定理 294

11.4　Thom-Pontrjagin构造 301

11.5　相交理论 309

第12章　纤维丛通论 314

12.1　引言 314

12.2　具有构造群的纤维丛 316

12.3　主丛 323

12.4　构造群的改变 331

12.5　万有丛和分类空间 335

12.6　覆盖同伦性质 337

12.7　杂记 343

参考文献 346

第13章　示性类 347

13.1　圆群G=S1和对合G=Z2的示性类 348

13.2　酉群U（n）的示性类（陈类）与正交群O（n）的示性类（Stiefel-Whitney类） 354

13.3　计算 365

13.4　其它的讲法 376

13.5　Pontrjagin类 381

13.6　K－群和陈特征标 385

参考文献 389

第14章　表示论通论 390

14.1　引言 390

14.2　一般概念 393

14.3　紧群和不变积分 395

14.4　特征标与权 398

14.5　极大环面与E.Cartan定理 406

14.6　实表示 410

14.7　根与Weyl群 413

14.8 E.Cartan定理 418

14.9　其它评述 421

参考文献 424

第15章　示性类续论 425

15.1 Borel-Hirzebruch格式 425

15.2　齐性空间上的计算 431

15.3 H*（BO(n);Q）和H*（BSO(n);Q）的计算 438

15.4　Pontrjagin数和配边不变性 444

参考文献 450

16.1　流形的指标 451

第16章　Hirzebruch指标定理 451

16.2　配边环的构造 460

16.3　乘法序列 466

16.4 Milnor的怪球 470

参考文献 478

第17章　Laplace方程和Hodge理论 479

17.1　偏微分方程（PDE）概况 479

17.2　调和函数 488

17.3 Laplace-Beltrami算子△ 495

17.4 Hirzebruch指标定理的另一表述 503

17.5　Hodge定理的证明，总的思路 507

17.6　Hodge定理的证明，一个特例 514

17.7　Hodge定理的证明，一般情况 520

17.8　澄清，微分几何概述 523

17.9　复情况 531

第18章　Riemann-Roch定理 534

18.1 亚纯函数 534

18.2　Cech构造和层 542

18.3　层的上同调 549

18.4 Riemann-Roch定理 564

18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广 575

18.6　其它的评述 584

参考文献 590

第19章　Atiyah-Singer指标定理 591

19.1　矢量从上的一般微分算子 591

19.2　椭圆算子的解析指标，Hodge理论 603

19.3 K理论概述 610

19.4 Todd亏数与拓扑指标 623

19.5 Atiyah-Singer指标定理 633

参考文献 636

第20章 曲率和相关问题 637

20.1 曲率 637

20.2　曲面的Gauss-Bonnet定理 647

20.3　曲率和示性类 663

20.4　主丛上的联络 677

20.5 Yang-Mills泛函 698

参考文献 708