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第一章　函数的极限与连续 1

第一节　数列的极限 1

1.1 实数 1

1.1.1　集合及其运算 1

1.1.2　实数系的连续性 3

1.1.3　确界与确界存在定理 4

1.2　数列极限的定义 7

1.3 收敛数列 11

1.3.1　收敛数列的性质 11

1.3.2　数列收敛的判别准则 14

习题1.1 21

第二节　函数的极限 23

2.1 映射与函数 23

2.1.1　映射 23

2.1.2　函数 25

2.2 函数的极限 31

2.3 函数极限与数列极限的关系 35

2.4 函数极限的性质及运算 36

2.4.1　函数极限的性质 37

2.4.2　函数极限的四则运算法则 37

2.5 函数极限存在的判别准则 39

2.6 两个重要的函数极限 41

2.7 无穷小量及其比较 44

2.8 无穷大量及其比较 47

习题1.2 48

第三节　函数的连续性 50

3.1 函数连续性的概念与基本性质 50

3.1.1　函数连续性的概念 50

3.1.2　连续函数的性质 52

3.2 函数的间断点及其类型 54

3.3 闭区间上连续函数的性质 56

3.4 函数的一致连续性 60

习题1.3 62

复习题一 63

第二章　一元函数微分学及其应用 66

第一节　函数的导数 66

1.1 导数的概念 66

1.1.1　导数的定义 66

1.1.2　导数的几何意义 69

1.1.3　可导与连续的关系 72

1.2　简单函数的导数 73

1.3 导数的运算法则 75

1.4　反函数的导数 78

1.5　复合函数的导数 80

1.6 隐函数的导数 84

1.7　参数方程确定的函数的导数 85

1.8　相关变化率问题 88

习题2.1 90

第二节　函数的微分 92

2.1　微分的概念 92

2.2 微分公式与运算法则 95

2.3　微分的简单应用 97

2.3.1　函数值的近似计算 97

2.3.2　间接测量的误差估计 98

习题2.2 99

3.1 高阶导数 100

第三节　高阶导数与高阶微分 100

3.2 高阶导数的运算法则 105

3.3　高阶微分 107

习题2.3 109

第四节　微分学的基本原理 110

4.1　极值与费马定理 110

4.2　微分中值定理 112

4.3 洛必达法则 118

习题2.4 123

第五节　泰勒公式 125

5.1 泰勒公式 125

5.2 几个初等函数的马克劳林公式 128

5.3 泰勒公式的应用 131

5.3.1 泰勒公式在近似计算中的应用 131

5.3.2　利用泰勒公式求极限 133

习题2.5 133

第六节　函数性态的研究 134

6.1 函数的单调性 134

6.2 函数的极值 136

6.3 函数的最值 139

6.4 曲线的凹凸性与拐点 142

6.5 曲线的渐近线 145

6.6 函数作图的分析法 147

习题2.6 149

第七节　平面曲线的曲率 151

7.1 曲率的概念 151

7.2 曲率的计算 152

习题2.7 155

第八节　方程的近似解 155

8.1 二分法 156

8.2　牛顿迭代法（切线法） 157

习题2.8 160

复习题二 160

1.1 原函数与不定积分 164

1.1.1　原函数与不定积分的概念 164

第三章　一元函数积分学及其应用 164

第一节　不定积分 164

1.1.2　不定积分的性质和基本公式 166

1.2　换元积分法 169

1.2.1　第一类换元法 169

1.2.2　第二类换元法 172

1.3　分部积分法 177

1.4　积分法举例 179

1.4.1　有理函数的积分 179

1.4.2　三角函数有理式的积分 181

习题3.1 182

1.4.3　简单无理函数的积分 182

第二节　定积分的概念与性质 186

2.1 定积分概念的引入 186

2.1.1　曲边梯形的面积 186

2.1.2　变速直线运动的路程 186

2.2　定积分的定义 187

2.2.1　定积分的定义 187

2.2.2　定积分的几何意义 188

2.3　定积分的性质 189

3.1　微积分的基本定理 192

3.1.1　变上限的积分 192

第三节　定积分的计算 192

习题3.2 192

3.1.2　牛顿—莱布尼茨公式 194

3.2　定积分的换元积分法与分部积分法 196

3.2.1　定积分换元积分法 196

3.2.2　定积分分部积分法 199

3.3　定积分的近似计算 200

3.3.1　矩形法 200

3.3.2　梯形法 201

3.3.3　辛普森公式 201

习题3.3 203

4.1.1　再论曲边梯形的面积 204

4.1 微元法 204

第四节　定积分的应用 204

4.1.2　微元法 205

4.2　平面图形的面积 205

4.2.1　直角坐标情形 205

4.2.2　极坐标情形 206

4.3　平面曲线的弧长 207

4.3.1　曲线弧为直角坐标方程 207

4.3.2　曲线弧为参数方程 208

4.3.3　曲线弧为极坐标方程 208

4.4　平行截面面积为已知的立体的体积 209

4.5　旋转体的体积 210

4.6　旋转体的侧面积 211

4.7 函数的平均值 212

4.8 变力作功 213

4.9 液体的侧压力、引力 214

4.9.1 压力 214

4.9.2　引力 215

习题3.4 216

第五节　广义积分 217

5.1 无穷区间上的积分 217

5.2 无界函数的广义积分 218

5.3 无穷区间上积分的审敛法 220

5.4 无界函数积分的审敛准则 222

5.5 Г函数 223

习题3.5 224

复习题三 225

第四章　微分方程 229

第一节　微分方程的基本概念 229

习题4.1 231

第二节　一阶微分方程 232

2.1 可分离变量的微分方程 232

2.2　齐次方程 234

2.3 一阶线性方程 236

2.4 贝努利方程 238

习题4.2 239

3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 240

第三节　可降阶的高阶微分方程 240

3.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程 241

3.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程 244

习题4.3 246

第四节　二阶线性微分方程的一般理论 246

4.1 齐次线性微分方程解的结构 246

4.2 非齐次线性微分方程解的结构 248

4.3　常数变易法 249

习题4.4 250

第五节　二阶常系数线性微分方程 250

5.1 常系数齐次线性微分方程 250

5.2 常系数非齐次线性微分方程 255

5.3　欧拉方程 259

习题4.5 260

第六节　微分方程的应用 261

6.1 生物种群繁殖的数学模型 261

6.2 振动问题 262

习题4.6 268

复习题四 269

习题答案与提示 272

附录 287

1．希腊字母表 287

2．常用曲线表 288

3．简明积分表 292