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第一篇 复变函数 3

第1章 复数与复变函数 3

本章学习目标 3

1.1 复数 3

1.1.1 复数的概念 3

1.1.2 复数的代数运算 4

1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 5

1.1.4 复数的幂与根 8

1.2 区域 10

1.2.1 复平面上的点集与区域 10

1.2.2 单连通域与多（复）连通域 11

1.3 复变函数 13

1.3.1 复变函数的概念 13

1.3.2 映射的概念 14

1.4.1 复变函数的极限 15

1.4 复变函数的极限与连续性 15

1.3.3 反函数与复合函数 15

1.4.2 复变函数的连续 17

本章小结 18

习题1 19

自测题1 21

第2章 解析函数 23

本章学习目标 23

2.1 复变函数的导数与微分 23

2.1.1 复变函数的导数 23

2.1.2 可导与连续的关系 25

2.1.3 复变函数的微分 25

2.1.4 导数运算法则 26

2.2 解析函数的概念 26

2.2.1 解析函数的定义及其性质 26

2.2.2 函数解析的充要条件 27

2.3.1 指数函数 30

2.3 初等函数及其解析性 30

2.3.2 对数函数 31

2.3.3 幂函数 32

2.3.4 三角函数 33

2.3.5 反三角函数 34

2.3.6 双曲函数与反双曲函数 35

本章小结 36

习题2 37

自测题2 38

第3章 复变函数的积分 40

本章学习目标 40

3.1 复变函数积分的概念 40

3.1.1 积分的定义 40

3.1.2 积分存在的条件及其计算方法 41

3.1.3 积分的性质 42

3.2.2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 44

3.2.1 积分与路经无关问题 44

3.2 积分基本定理 44

3.2.3 几个等价定理 45

3.3 基本定理的推广——复合闭路定理 47

3.4 柯西积分公式 48

3.5 解析函数的高阶导数 49

本章小结 51

习题3 52

自测题3 52

第4章 级数 54

本章学习目标 54

4.1 幂级数 54

4.1.1 幂级数的概念 54

4.1.2 泰勒级数 55

4.2 罗伦级数 57

本章小结 60

自测题4 61

习题4 61

第5章 留数 63

本章学习目标 63

5.1 孤立奇点 63

5.1.1 孤立奇点的概念及分类 63

5.1.2 函数的零点与极点的关系 64

5.2 留数 65

5.2.1 留数概念 65

5.2.2 留数定理 66

5.2.3 在无穷远点的留数 69

5.2.4 留数在定积分计算上的应用 70

本章小结 72

习题5 73

自测题5 74

6.1 傅里叶积分 78

6.1.1 主值意义下的广义积分 78

第6章 傅里叶变换 78

本章学习目标 78

第二篇 积分变换 78

6.1.2 傅氏积分存在定理 79

6.2 傅里叶变换与频谱 80

6.2.1 傅里叶变换的概念 80

6.2.2 傅氏变换的物理意义——频谱 82

6.3 δ函数及其傅里叶变换 84

6.3.1 δ函数的定义 85

6.3.2 δ函数的性质 86

6.3.3 δ函数的傅里叶变换 87

6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 88

6.4 傅里叶变换的性质 90

6.4.1 线性性质 90

6.4.2 对称性质 90

6.4.3 相似性性质 90

6.4.4 平移性质 91

6.4.5 微分性质 93

6.4.6 积分性质 94

6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 94

本章小结 95

习题6 97

自测题6 99

第7章 拉普拉斯变换 100

本章学习目标 100

7.1 拉普拉斯变换 100

7.1.1 拉普拉斯变换的概念 100

7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 101

7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 101

7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 102

7.2 拉普拉斯变换的基本性质 103

7.2.1 线性性质 103

7.2.3 平移性质 104

7.2.2 相似性 104

7.2.4 微分性质 106

7.2.5 积分性质 107

7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 109

7.3 拉普拉斯逆变换 110

7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 110

7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 112

7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 113

7.4 拉普拉斯变换的应用 113

7.4.2 线性系统的传递函数 116

本章小结 117

习题7 118

自测题7 121

附录1 复变函数习题与自测题提示与答案 123

附录2 积分变换习题与自测题提示及答案 133

附录3 变换简表 138

参考文献 146