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第一章 证明极限存在的方法 1

1.1 用数学语言证明极限 1

一、极限的定义 1

二、用“ε—N”语言证明数列极限 3

三、用“ε—A”语言证明函数极限 12

四、用“ε—δ”语言证明函数极限 15

五、用“M—δ”和“M—A”语言证明函数为无穷大量 18

1.2 用夹逼定理证明极限 21

1.3 用实数连续性公理证明极限 27

1.4 用柯西（Cauchy）收敛准则证明极限 32

1.5 用施笃兹（Stolz）定理证明极限 35

1.6 用托布利兹（Toeplitz）定理证明极限 38

第二章 利用“常数变易”的证题法 42

2.1 数值不等式的证明 42

2.2 定积分不等式的证明 46

2.3 定积分等式的证明 53

2.4 方程f(x)=g（x）至少有一个根的证明 55

2.5 方程f'(x)=g'（x）至少存在一个根的证明 59

第三章 应用中值定理证题法 64

3.1 应用罗尔（Rolle）定理证明 65

一、直接应用罗尔定理证明 65

二、先建立辅助函数，再应用罗尔定理证明 67

一、一个函数的两点函数值之差的命题 71

3.2 应用拉格朗日（Lagrange）中值定理证明 71

二、一个函数在两个区间端点的函数值之差的比较 74

三、存在ξ∈(a,b)，使f(n)(ξ)＞0（＜0）的命题 76

四、函数f(x)在［a,b］连续，f(a)=0，或f(b)=0，或f(a)=f(b)=0的命题 77

3.3 应用柯西中值定理证明 80

一、两个函数在区间端点的函数值之差的命题 80

二、两个函数在同一点的导数之比的命题 86

3.4 应用二次或二次以上中值定理证明 87

3.5 应用积分中值定理证明 91

4.1 应用泰勒公式证明存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=0或k（k为常数）的命题 97

第四章 应用泰勒（Taylor）公式证题法 97

4.2 应用泰勒公式证明等式 99

4.3 应用泰勒公式证明不等式 103

4.4 应用泰勒公式证明极限 115

4.5 杂例 118

第五章 借助反证法之证题法 125

5.1 否定性命题 125

5.2 存在与不存在的命题 127

5.3 恒为零或恒为正（负）的命题 133

5.4 唯一性命题及其它 134