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第一部分 基础知识和基本定理 3

第一章 Riemann流形 3

§1.1 流形、切空间和切丛 3

§1.2 Riemann联络和仿射联络 6

§1.3 向量场的平行移动和测地线 14

§1.4 第一变分公式 18

§1.5 指数映照，完备性和Hopf-Rinow定理 20

习题一 26

第二章 曲率和比较定理 31

§2.1 曲率张量、截面曲率和Ricci曲率 31

§2.2 测地线族的变分向量场 32

§2.3 Jacobi方程和Riccati方程 34

§2.4 Gromov引理和经典比较定理的新证明 35

§2.5 Gromov-Bishop比较定理 40

习题二 44

第三章 共轭点和最大直径定理 47

§3.1 共轭点、第二变分公式 47

§3.2 Ricci曲率和Myers直径定理 53

§3.3 郑绍远最大直径定理的简单证明 54

§3.4 Calabi-Yau体积线性估计 55

习题三 58

第四章 单一半径和有限定理 62

§4.1 割点、割迹和单一半径 62

§4.2 Cheeger的单一半径估计 66

§4.3 重心和流形中的离散图 69

§4.4 Cheeger有限定理 73

习题四 75

第二部分 现代理论选讲 79

第五章 Riemann流形上的测地流 79

§5.1 测地流和切丛上的辛结构 79

§5.2 闭测地线 85

§5.3 无共轭点的流形和Hopf猜测 90

习题五（含未解决的问题） 93

第六章 具有非正曲率的流形 96

§6.1 测地线、非正曲率和负曲率 96

§6.2 基本群、Preissmann和丘成桐定理 104

§6.3 Gromoll-Wolf和Lawson-Yau分解定理 109

§6.4 Eberlein正规交换子群分解定理 111

§6.5 Gromov图形流形和最小体积流形 116

§6.6 测地流的刚性定理和其他刚性定理简介 119

习题六（含未解决的问题） 121

第七章 具有非负曲率的流形 123

§7.1 具有非负曲率流形的例子 123

§7.2 基本群和陈省身猜测的反例 128

§7.3 Cheeger-Gromoll理论和开流形 129

§7.4 Cheeger-Gromoll灵魂猜想的证明 134

习题七（含未解决的问题） 143

参考文献 145

《当代数学讲座丛书》已出版书目 148